La rappresentazione in spazio di stato descrive un sistema dinamico tramite un insieme di variabili di stato e un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. È il fondamento del controllo moderno, e supera i limiti della funzione di trasferimento: gestisce sistemi a più ingressi e più uscite (MIMO), non lineari e tempo-varianti, e tiene conto esplicito dello stato interno del sistema.
Lo stato è l’insieme minimo di variabili che riassume tutta la storia passata del sistema rilevante per il futuro: conoscendo lo stato attuale e gli ingressi futuri, si determina completamente l’evoluzione. Per un sistema meccanico, per esempio, lo stato è posizione e velocità.
La forma standard per un sistema lineare è:
dove \mathbf{x} è il vettore di stato, \mathbf{u} gli ingressi, \mathbf{y} le uscite, e le matrici A, B, C, D descrivono rispettivamente la dinamica interna, l’effetto degli ingressi sullo stato, il legame stato-uscita e quello diretto ingresso-uscita.
| Matrice | Ruolo |
|---|---|
| A (dinamica) | come lo stato evolve da solo; i suoi autovalori sono i poli |
| B (ingresso) | come gli ingressi agiscono sullo stato |
| C (uscita) | come lo stato determina l’uscita |
| D (trasmissione diretta) | legame diretto ingresso-uscita |
Gli autovalori della matrice A corrispondono ai poli del sistema e ne determinano la stabilità (parte reale negativa = stabile), collegando la rappresentazione di stato a quella in funzione di trasferimento.
Il vantaggio della rappresentazione di stato è la potenza e generalità: abilita tecniche di controllo avanzate come la retroazione dello stato (collocazione dei poli), il controllo ottimo (LQR), i filtri di Kalman per la stima dello stato, e l’analisi di proprietà strutturali come controllabilità e osservabilità. È il linguaggio del controllo moderno, particolarmente adatto a sistemi complessi, multivariabili e all’implementazione su calcolatore.