L’equazione algebrica di Riccati è un’equazione matriciale non lineare che compare nel controllo ottimo, nella stima dello stato e nei problemi di stabilizzazione. A differenza dell’equazione di Riccati scalare, qui l’incognita è una matrice, di solito simmetrica, che pesa il costo ottimo associato allo stato. È anche il limite stazionario di opportune ricorsioni di Riccati discrete.
Forma continua
Nel regolatore quadratico lineare continuo, con sistema:
e costo:
l’equazione algebrica di Riccati continua è:
La matrice P determina la retroazione ottima:
Qui Q pesa lo stato, R pesa l’azione di controllo, e P codifica il compromesso tra prestazioni e costo dell’ingresso.
Forma discreta
Per un sistema discreto:
la forma algebrica discreta è:
La retroazione ottima diventa:
Condizioni e interpretazione
Per ottenere la soluzione stabilizzante servono ipotesi strutturali sul sistema, tipicamente stabilizzabilità della coppia (A,B) e rilevabilità della coppia associata a Q. In termini pratici, gli stati instabili devono poter essere controllati e le componenti penalizzate dal costo devono essere visibili alla funzione obiettivo.
| Oggetto | Ruolo |
|---|---|
| A | dinamica libera del sistema |
| B | ingresso di controllo |
| Q | penalizzazione dello stato |
| R | penalizzazione del controllo |
| P | matrice del costo ottimo |
| K | guadagno di retroazione |
Errori comuni
- Confondere l’equazione algebrica con la Riccati differenziale a orizzonte finito.
- Usare un R non definito positivo: il costo del controllo deve rendere invertibile il termine di ingresso.
- Interpretare P come matrice arbitraria: la soluzione utile è quella simmetrica stabilizzante.
- Applicare la formula LQR senza verificare unità di misura e pesi relativi in Q e R.
Vedi anche: Spazio di stato, Ricorsione di Riccati discreta, Equazione di Riccati, Fattorizzazione QR, Controllabilità e osservabilità.