Equazione di Riccati — ingegnerismo.it

L’equazione di Riccati è un’equazione differenziale ordinaria non lineare del primo ordine, quadratica nell’incognita. Nella forma scalare generale si scrive:

y'=a(t)y^2+b(t)y+c(t).

È importante distinguerla dall’equazione algebrica di Riccati, che è una relazione matriciale centrale nel controllo ottimo. La voce presente qui riguarda la Riccati differenziale scalare studiata nelle EDO.

Riduzione con una soluzione particolare

In generale non esiste una formula elementare universale. Se però si conosce una soluzione particolare $y_p(t)$ , la sostituzione:

y=y_p+\dfrac{1}{u}

riconduce il problema a una EDO lineare del primo ordine in $u$ . Infatti:

y'=y_p'-\dfrac{u'}{u^2}.

Sostituendo nella Riccati e usando il fatto che $y_p$ soddisfa l’equazione, resta:

u'+\bigl(2a(t)y_p(t)+b(t)\bigr)u=-a(t).

Questa equazione lineare si risolve con il fattore integrante. Il punto operativo è quindi chiaro: la Riccati è difficile in generale, ma diventa gestibile quando si trova, o viene fornita, una soluzione particolare.

Casi degeneri

Condizione	Equazione risultante	Metodo
$a(t)=0$	$\displaystyle y'=b(t)y+c(t)$	EDO lineare del primo ordine
$c(t)=0$	$\displaystyle y'=a(t)y^2+b(t)y$	equazione di Bernoulli
$a,b,c$ costanti	$\displaystyle y'=ay^2+by+c$	separazione tramite fattorizzazione del trinomio, se possibile
nota $y_p$	$\displaystyle y=y_p+\dfrac{1}{u}$	riduzione a EDO lineare

Collegamento con le EDO lineari del secondo ordine

La Riccati può essere linearizzata anche tramite una sostituzione legata a una EDO del secondo ordine. Quando $a(t)\neq 0$ , una trasformazione del tipo:

y=-\dfrac{1}{a(t)}\dfrac{u'}{u}

porta a una equazione lineare del secondo ordine per $u$ , con coefficienti dipendenti da $a(t)$ , $b(t)$ e $c(t)$ . Questo spiega perché la Riccati compare in problemi di fattorizzazione di operatori, meccanica quantistica, ottica geometrica e controllo.

Errori comuni

Applicare la sostituzione $y=y_p+1/u$ senza avere una soluzione particolare verificata.
Dimenticare che $u=0$ non è ammesso nella trasformazione.
Confondere la Riccati scalare differenziale con la Riccati algebrica matriciale del controllo ottimo.
Cercare una formula chiusa anche quando il problema richiede un metodo numerico.

Vedi anche: Equazione differenziale ordinaria, Metodi di risoluzione delle EDO, Equazione di Bernoulli, Equazione algebrica di Riccati, EDO del primo ordine: esercizi svolti.