Un processo gaussiano è un processo stocastico tale che, per ogni scelta finita di tempi o punti t_1,\ldots,t_n, il vettore:
ha distribuzione normale multivariata. Il termine “tempo” non è obbligatorio: l’indice t può rappresentare anche posizione nello spazio, frequenza, una configurazione di progetto o un punto di input.
Un processo gaussiano è determinato completamente dalla funzione media:
e dalla funzione di covarianza:
purché K sia una funzione positiva-definita.
Distribuzioni finite-dimensionali
Per un insieme finito di punti t_1,\ldots,t_n si ha:
dove \mathbf m_i=m(t_i) e la matrice di covarianza ha elementi:
Questa proprietà rende i processi gaussiani molto trattabili: ogni insieme finito di osservazioni è descritto da media e matrice di covarianza.
Esempi e interpretazione
Il moto browniano è un esempio di processo gaussiano con media nulla e covarianza:
Anche molti modelli di rumore, segnali stazionari, campi aleatori e incertezze di modello sono formulati come processi gaussiani. In regressione probabilistica, il processo gaussiano definisce una distribuzione su funzioni: invece di stimare una sola curva, si assegna una distribuzione di probabilità alle curve compatibili con i dati.
Kernel e regolarità
La scelta della covarianza, spesso chiamata kernel, controlla regolarità, scala di correlazione, periodicità e ampiezza delle funzioni generate. Un kernel molto liscio produce campioni regolari; un kernel con scala corta permette variazioni rapide.
Un errore comune è pensare che “gaussiano” significhi che ogni traiettoria abbia forma a campana. In realtà sono gaussiane le distribuzioni finite-dimensionali dei valori del processo, non necessariamente la forma del grafico di una realizzazione.
Vedi anche: Processo di Wiener, Covarianza, Funzione positiva-definita.