I disegni Plackett-Burman sono disegni sperimentali di screening pensati per valutare molti fattori con un numero ridotto di prove. Si usano nelle fasi iniziali di un disegno degli esperimenti, quando l’obiettivo non è ancora costruire un modello dettagliato del processo, ma capire quali fattori meritano attenzione.
Sono disegni a due livelli: ogni fattore viene provato in un livello basso e in un livello alto, spesso codificati come -1 e +1.
Struttura del disegno
Un disegno Plackett-Burman con N prove può studiare fino a N-1 fattori a due livelli. Tipicamente N è multiplo di 4, come 12, 20, 24, 28 e così via. La matrice sperimentale contiene segni +1 e -1 organizzati in modo che le colonne dei fattori siano ortogonali o quasi ortogonali rispetto agli effetti principali.
Se x_j\in\{-1,+1\} è il livello codificato del fattore j, un modello di screening considera soprattutto
Gli effetti principali \beta_j stimano quanto cambia la risposta passando dal livello basso al livello alto del fattore, mediando sugli altri fattori.
Stima degli effetti principali
Per un fattore j, l’effetto principale stimato può essere espresso come differenza tra la media delle risposte al livello alto e la media delle risposte al livello basso:
La codifica \pm1 rende il calcolo semplice e collega il disegno a una regressione lineare con variabili codificate. In pratica si stimano i coefficienti e si identificano i fattori con effetti più grandi rispetto alla variabilità sperimentale.
Screening, non ottimizzazione finale
Il punto forte dei disegni Plackett-Burman è l’efficienza. Se ci sono molti fattori potenzialmente rilevanti, un disegno fattoriale completo a due livelli richiederebbe
prove, che diventa rapidamente impraticabile. Un Plackett-Burman permette invece una prima selezione con molte meno prove.
Il prezzo è che il disegno non è pensato per stimare in modo affidabile interazioni e curvature. Serve a restringere il campo: dopo lo screening, i fattori importanti vanno studiati con disegni più ricchi, repliche, punti centrali o modelli di superficie di risposta.
Confondimento e risoluzione
Nei disegni Plackett-Burman, le interazioni possono essere confuse con gli effetti principali. Questo è accettabile solo se si assume che le interazioni siano piccole rispetto agli effetti principali o se lo scopo è puramente esplorativo.
In termini di disegno sperimentale, molti Plackett-Burman sono assimilabili a disegni di risoluzione III: gli effetti principali non sono confusi tra loro, ma possono essere confusi con interazioni a due fattori. Questa è la ragione per cui i risultati vanno interpretati come segnali preliminari.
Esempio operativo
Supponiamo di avere 11 fattori di processo: temperatura, pressione, tempo, concentrazione, pH, velocità di agitazione e altri parametri. Un fattoriale completo richiederebbe
prove. Un disegno Plackett-Burman a 12 prove consente una prima stima degli effetti principali, con un costo sperimentale molto più basso.
Se emergono tre fattori dominanti, la fase successiva può concentrarsi su questi, usando un disegno fattoriale più completo o un modello con interazioni.
Analisi dei risultati
Quando non ci sono repliche, stimare l’errore sperimentale è difficile. Si usano talvolta fattori dummy, grafici di Pareto degli effetti, normal plot degli effetti o conoscenza di processo per distinguere segnali reali da rumore. Quando possibile, repliche e blocchi sperimentali migliorano l’affidabilità dell’analisi.
Se l’esperimento include repliche o stime indipendenti dell’errore, si possono usare strumenti collegati ad ANOVA e test di significatività, tenendo sempre conto del carattere esplorativo del disegno.
Errori comuni
Il primo errore è trattare un Plackett-Burman come modello definitivo del processo. Il secondo è interpretare gli effetti principali senza chiedersi se interazioni forti possano averli contaminati. Il terzo è scegliere livelli troppo vicini, ottenendo effetti piccoli rispetto al rumore, o troppo lontani, entrando in regioni non lineari dove il modello a due livelli è fuorviante.
Per esercizi collegati a test e analisi statistica si vedano anche gli esercizi su ANOVA e sui test d’ipotesi parametrici.