Un disegno fattoriale è un disegno sperimentale in cui più fattori vengono variati simultaneamente e osservati in combinazione. Il suo obiettivo è stimare non solo gli effetti principali dei singoli fattori, ma anche le interazioni, cioè i casi in cui l’effetto di un fattore dipende dal livello di un altro.
È uno degli strumenti fondamentali del disegno degli esperimenti perché permette di imparare più informazioni con meno ambiguità rispetto a una strategia “un fattore alla volta”. In ingegneria è usato per ottimizzare processi, confrontare configurazioni, analizzare robustezza, studiare interazioni tra parametri e costruire modelli empirici.
1. Fattori, livelli e trattamenti
Un fattore è una variabile controllata dallo sperimentatore, come temperatura, pressione, velocità, tipo di materiale, algoritmo, concentrazione o impostazione di una macchina. I livelli sono i valori o le categorie assunte dal fattore.
Una combinazione specifica dei livelli di tutti i fattori è detta trattamento o run sperimentale. Se un fattore A ha a livelli e un fattore B ha b livelli, il fattoriale completo contiene:
combinazioni. Con più fattori, il numero di prove è il prodotto dei livelli:
dove l_j è il numero di livelli del fattore j.
2. Disegno fattoriale a due livelli
Un caso molto comune è il disegno 2^k, in cui k fattori sono provati ciascuno a due livelli, spesso codificati come -1 e +1. Il numero di combinazioni è:
Per tre fattori A, B, C, un disegno completo 2^3 contiene 8 prove:
La codifica a due livelli rende semplice stimare effetti e interazioni tramite contrasti.
3. Effetti principali
L’effetto principale di un fattore misura quanto cambia la risposta media passando dal livello basso al livello alto, mediando sugli altri fattori. Per un fattore A a due livelli:
Questa media sugli altri fattori è il punto di forza del disegno fattoriale: l’effetto di A non viene stimato tenendo fissi arbitrariamente gli altri fattori, ma considerando tutte le combinazioni previste dal disegno.
4. Interazioni
Un’interazione si verifica quando l’effetto di un fattore cambia al variare del livello di un altro. Per due fattori a due livelli, l’interazione AB può essere vista come differenza tra differenze:
Se l’interazione è nulla, le linee in un grafico delle medie sono circa parallele. Se l’interazione è forte, l’effetto di A dipende dal livello di B, quindi parlare di un solo effetto principale può essere riduttivo o fuorviante.
In molti sistemi tecnici le interazioni sono la parte più importante: temperatura e pressione, carico e velocità, materiale e trattamento termico, algoritmo e dimensione del dataset possono produrre effetti combinati non prevedibili da prove isolate.
5. Modello lineare del fattoriale
Per un disegno a due fattori, un modello tipico è:
Con fattori codificati a due livelli, si può scrivere anche:
Il termine AB è il prodotto dei codici dei fattori e rappresenta l’interazione. Con più fattori si aggiungono termini come AC, BC, ABC e così via.
L’analisi può essere condotta con ANOVA, regressione lineare, grafici degli effetti e diagnostica dei residui. Quando si testano molti effetti, può essere necessario correggere il rischio di falsi positivi con procedure per confronti multipli.
6. Repliche e stima dell’errore
Le repliche sono ripetizioni della stessa combinazione di fattori. Servono a stimare la variabilità sperimentale pura e a distinguere effetti reali da rumore.
Senza repliche, nei fattoriali a due livelli si può ancora stimare un modello saturo, ma la stima dell’errore richiede ipotesi aggiuntive, per esempio che le interazioni di ordine alto siano trascurabili. Questa scelta può essere ragionevole in screening preliminare, ma deve essere dichiarata.
Le repliche non vanno confuse con misure ripetute sulla stessa unità senza reale ripetizione del processo. Misurare tre volte lo stesso provino non equivale a produrre tre provini indipendenti.
7. Randomizzazione e blocchi
La randomizzazione dell’ordine delle prove riduce il rischio che tendenze temporali, deriva degli strumenti, affaticamento degli operatori o condizioni ambientali si confondano con i fattori studiati.
Quando una fonte di variabilità è nota ma non è di interesse, si usa un blocco sperimentale. Per esempio, se le prove devono essere distribuite su due giornate, il giorno può essere trattato come blocco per evitare che l’effetto giorno si mescoli agli effetti dei fattori.
Randomizzazione e blocchi non sono dettagli organizzativi: determinano quali conclusioni possono essere difese.
8. Disegni frazionari
Quando k cresce, il fattoriale completo diventa costoso. Un disegno 2^{10} richiede 1024 combinazioni, spesso impraticabili. Si usano allora disegni fattoriali frazionari:
dove si esegue solo una frazione delle combinazioni. Il prezzo è il confondimento tra alcuni effetti, detto anche aliasing.
Per esempio, una frazione può essere costruita in modo che:
Questa relazione generatrice implica che alcuni effetti non siano separabili. La qualità del disegno dipende dalla sua risoluzione: disegni di risoluzione più alta confondono meno gli effetti principali con interazioni di basso ordine.
9. Screening
Nei primi studi di processo si vogliono spesso identificare pochi fattori importanti tra molti candidati. Disegni di screening come Plackett-Burman riducono drasticamente il numero di prove, assumendo che le interazioni siano trascurabili o secondarie.
Questa è una scelta utile ma rischiosa: se le interazioni sono forti, un disegno di screening può attribuire a un fattore un effetto che in realtà deriva da una combinazione di fattori. Per questo i risultati di screening dovrebbero essere confermati con esperimenti successivi più mirati.
10. Un fattore alla volta: perché non basta
La strategia “one factor at a time” varia un fattore lasciando fissi gli altri. È intuitiva, ma inefficiente e incapace di stimare interazioni. Può portare a conclusioni sbagliate se l’effetto di un fattore cambia in base al livello di un altro.
Il disegno fattoriale, invece, distribuisce le prove nello spazio sperimentale e permette di osservare combinazioni. Questo è essenziale quando il sistema è non additivo.
11. Errori comuni
Il primo errore è ignorare le interazioni e interpretare solo gli effetti principali. Se l’interazione è forte, l’effetto principale medio può non rappresentare nessuna condizione operativa reale.
Il secondo errore è non randomizzare l’ordine delle prove. Una sequenza ordinata per livelli può confondere il fattore con il tempo.
Il terzo errore è usare un disegno frazionario senza capire la struttura di aliasing. Ridurre le prove è utile solo se si sa quali effetti si stanno sacrificando.
Il quarto errore è confondere repliche tecniche e repliche sperimentali. Solo le seconde misurano la variabilità del processo completo.
12. Uso operativo
Un buon disegno fattoriale parte da una domanda tecnica chiara: quali fattori possono essere controllati, quali livelli sono sicuri e informativi, quali interazioni sono plausibili, quante repliche servono e quali vincoli logistici esistono. La tabella delle prove viene poi randomizzata, eventualmente bloccata, eseguita con criteri coerenti e analizzata con un modello che rispetta la struttura del disegno.
La forza del fattoriale è la sua economia informativa: invece di studiare fattori isolati, osserva il sistema come combinazione di cause controllate.