Regressione Lineare

La regressione lineare è una delle tecniche più utilizzate in ingegneria per quantificare la relazione tra una variabile dipendente $Y$ (effetto) e una o più variabili indipendenti $X$ (cause). Il modello assume che il legame sia rappresentabile mediante una linea retta (nel caso semplice) o un iperpiano (nel caso multiplo).

Il Modello Matematico

L’equazione fondamentale della regressione lineare semplice è: $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ dove:

• $\beta_0$ è l’intercetta.
• $\beta_1$ è il coefficiente angolare (pendenza), che rappresenta il “guadagno” del sistema.
• $\epsilon$ è l’errore casuale (residuo), solitamente assunto come normale con media nulla.

Metodo dei Minimi Quadrati (OLS)

I parametri $\beta_0$ e $\beta_1$ vengono stimati minimizzando la somma dei quadrati delle differenze tra i dati osservati e quelli previsti dal modello: $S = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 \to \min$

Bontà dell’Adattamento ($R^2$)

Il coefficiente di determinazione $R^2$ misura la frazione della varianza totale dei dati che viene spiegata dal modello. Un $R^2 = 0.95$ significa che il modello lineare “spiega” il $95\%$ della variabilità osservata.

Significato Ingegneristico

• Calibrazione di Strumenti: Determinare la retta di taratura che converte un segnale elettrico (es. mV) in una grandezza fisica (es. bar).
• Progettazione Sperimentale (DOE): Analizzare come la variazione di un parametro di processo (es. pressione di iniezione) influenzi la qualità del prodotto finito.
• Predizione dei Carichi: Stimare il consumo futuro di energia elettrica in base alle previsioni meteorologiche.
• Identificazione Parametrica: Stimare parametri fisici ignoti (es. modulo di Young, coefficiente di attrito) a partire da dati sperimentali di forza e spostamento.

Vedi anche: Coefficiente di Correlazione, Statistica Inferenziale, Minimi Quadrati.