La regressione lineare è una delle tecniche più utilizzate in ingegneria per quantificare la relazione tra una variabile dipendente Y (effetto) e una o più variabili indipendenti X (cause). Il modello assume che il legame sia rappresentabile mediante una linea retta (nel caso semplice) o un iperpiano (nel caso multiplo).
Il Modello Matematico
L’equazione fondamentale della regressione lineare semplice è: Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon dove:
- \beta_0 è l’intercetta.
- \beta_1 è il coefficiente angolare (pendenza), che rappresenta il “guadagno” del sistema.
- \epsilon è l’errore casuale (residuo), solitamente assunto come normale con media nulla.
Metodo dei Minimi Quadrati (OLS)
I parametri \beta_0 e \beta_1 vengono stimati minimizzando la somma dei quadrati delle differenze tra i dati osservati e quelli previsti dal modello: S = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 \to \min
Bontà dell’Adattamento (R^2)
Il coefficiente di determinazione R^2 misura la frazione della varianza totale dei dati che viene spiegata dal modello. Un R^2 = 0.95 significa che il modello lineare “spiega” il 95\% della variabilità osservata.
Significato Ingegneristico
- Calibrazione di Strumenti: Determinare la retta di taratura che converte un segnale elettrico (es. mV) in una grandezza fisica (es. bar).
- Progettazione Sperimentale (DOE): Analizzare come la variazione di un parametro di processo (es. pressione di iniezione) influenzi la qualità del prodotto finito.
- Predizione dei Carichi: Stimare il consumo futuro di energia elettrica in base alle previsioni meteorologiche.
- Identificazione Parametrica: Stimare parametri fisici ignoti (es. modulo di Young, coefficiente di attrito) a partire da dati sperimentali di forza e spostamento.
Vedi anche: Coefficiente di Correlazione, Statistica Inferenziale, Minimi Quadrati.