Formula di Pick — ingegnerismo.it

La formula di Pick calcola l’area di un poligono reticolare semplice, cioè un poligono i cui vertici hanno coordinate intere e i cui lati non si auto-intersecano. La formula lega area e conteggio dei punti del reticolo:

A=I+\dfrac{B}{2}-1

dove $I$ è il numero di punti del reticolo interni al poligono e $B$ è il numero di punti del reticolo sul bordo.

È un risultato di geometria discreta: una grandezza continua, l’area, viene ricavata contando punti interi. La formula vale nel reticolo piano standard $\mathbb Z^2$ , ma può essere adattata a reticoli affini equivalenti se l’area viene misurata rispetto alla cella elementare del reticolo.

Significato dei termini

Simbolo	Formula o definizione	Significato
Area	$\displaystyle A$	Area ordinaria del poligono.
Punti interni	$\displaystyle I$	Punti di $\mathbb{Z}^2$ strettamente interni al poligono.
Punti sul bordo	$\displaystyle B$	Punti di $\mathbb{Z}^2$ appartenenti ai lati, vertici inclusi.
Correzione	$\displaystyle -1$	Termine topologico della formula per poligoni semplici senza buchi.

La formula è notevole perché calcola una grandezza geometrica continua, l’area, usando solo un conteggio discreto di punti.

Le forme inverse sono spesso utili:

I=A-\dfrac{B}{2}+1

B=2(A-I+1).

La prima permette di ricavare quanti punti reticolari interni ha un poligono quando area e bordo sono più facili da calcolare. La seconda è meno frequente, ma aiuta a controllare coerenza e parità nei problemi combinatori.

Conteggio dei punti sul bordo

Per applicare Pick serve contare correttamente i punti reticolari sui lati. Se un lato congiunge due vertici:

(x_1,y_1),\qquad (x_2,y_2)

allora il contributo del lato al conteggio del bordo è:

\gcd(|x_2-x_1|,\ |y_2-y_1|)

Sommando questo valore su tutti i lati si ottiene:

B=\sum_{\text{lati}}\gcd(|\Delta x|,\ |\Delta y|)

La somma funziona perché ogni vertice viene contato una sola volta nel percorso chiuso del bordo.

Il motivo è che il segmento tra due punti interi contiene:

\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)+1

punti reticolari se si contano entrambi gli estremi. Sommando lato per lato si conterebbe ogni vertice due volte; usando direttamente $\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)$ per ciascun lato, il conteggio complessivo chiuso risulta corretto.

Area tramite coordinate

Pick non è l’unico modo per calcolare l’area. Se i vertici del poligono sono ordinati lungo il bordo:

(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n), \qquad (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1),

l’area può essere calcolata anche con la formula del laccio:

A=\dfrac{1}{2} \left| \sum_{k=1}^{n} (x_k y_{k+1}-x_{k+1}y_k) \right|.

La formula del laccio usa le coordinate dei vertici; la formula di Pick usa invece il conteggio dei punti interni e di bordo. Nei problemi reticolari conviene spesso usarle insieme: il laccio dà l’area, il MCD dei lati dà $B$ , e Pick ricava $I$ .

Esempio

Consideriamo il triangolo con vertici:

(0,0),\qquad (4,0),\qquad (0,3)

La sua area geometrica è:

A=\dfrac{4\cdot 3}{2}=6

Il numero di punti reticolari sul bordo è:

B=\gcd(4,0)+\gcd(4,3)+\gcd(0,3)=4+1+3=8

Applicando Pick al contrario si ricava:

I=A-\dfrac{B}{2}+1=6-4+1=3

Infatti i punti interni sono tre. La formula conferma:

A=I+\dfrac{B}{2}-1=3+4-1=6

Questo esempio evidenzia un punto importante: il lato obliquo da $(4,0)$ a $(0,3)$ non contiene punti reticolari intermedi, perché $\gcd(4,3)=1$ . Se il lato fosse stato da $(4,0)$ a $(0,4)$ , avrebbe contenuto più punti sul bordo perché $\gcd(4,4)=4$ .

Perché compare il termine meno uno

Il termine $-1$ non è una correzione numerica casuale. È legato alla topologia del poligono semplice e alla struttura del reticolo piano. Una dimostrazione intuitiva parte da tre fatti:

un rettangolo reticolare verifica facilmente la formula;
un triangolo reticolare elementare senza punti interni e con tre punti di bordo ha area $\dfrac{1}{2}$ ;
scomponendo un poligono reticolare in triangoli reticolari, i contributi interni di lati condivisi si compensano.

In una triangolazione, i punti interni, i punti di bordo e i lati condivisi non contribuiscono tutti allo stesso modo. Il termine costante riflette il fatto che il poligono semplice ha una sola componente interna e una sola frontiera esterna. Per poligoni con buchi, infatti, la costante cambia.

Condizioni di validità

La formula nella forma standard vale per poligoni semplici senza buchi, con vertici nel reticolo intero. Non si applica direttamente a poligoni auto-intersecanti. Se il poligono ha buchi, entra una correzione aggiuntiva legata al numero di componenti interne escluse.

In particolare, servono:

vertici a coordinate intere;
bordo formato da segmenti rettilinei;
poligono semplice, quindi senza auto-intersezioni;
area calcolata nel piano euclideo ordinario;
conteggio coerente dei punti interni e di tutti i punti di bordo.

Se il poligono ha $h$ buchi e si contano anche i punti sulle frontiere interne nel valore $B$ , la forma corretta diventa:

A=I+\dfrac{B}{2}-1+h.

Questa estensione mostra che la formula è sensibile alla topologia della regione, non solo alla posizione dei vertici.

Collegamento con determinanti e triangoli

Per un triangolo con vertici reticolari, l’area si può calcolare con un determinante:

A=\dfrac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{pmatrix} \right|.

Questa lettura collega Pick alla geometria analitica: il determinante misura l’area orientata del parallelogramma generato da due vettori, e il triangolo ne occupa metà. Nei poligoni reticolari, triangolazioni e determinanti permettono di passare dal calcolo metrico al conteggio discreto.

Usi

La formula di Pick è usata in:

geometria discreta e combinatoria;
problemi olimpici e didattici su aree e reticoli;
controllo di coerenza per poligoni a coordinate intere;
algoritmi geometrici elementari;
studio di triangolazioni reticolari e poligoni convessi nel piano.

In ingegneria computazionale e grafica, la formula è meno generale degli algoritmi di area per poligoni qualsiasi, ma resta utile quando i dati vivono naturalmente su griglie intere: mesh, pixel, celle, mappe raster, percorsi su reticolo e modelli discreti.

Errori comuni

Il primo errore è contare solo i vertici nel valore $B$ : anche i punti reticolari lungo i lati vanno inclusi.

Il secondo errore è applicare la formula a vertici non interi senza prima cambiare scala o reticolo. Se i vertici sono razionali si può talvolta riscalare il sistema, ma l’area va poi riportata alla scala originale.

Il terzo errore è usare Pick su poligoni auto-intersecanti come se fossero poligoni semplici. In quel caso non è nemmeno univoco che cosa si intenda per interno senza una convenzione di orientamento o numero di avvolgimento.

Il quarto errore è confondere i punti interni con quelli del bordo: $I$ non include i punti sui lati.

Il quinto errore è dimenticare i buchi. Una regione reticolare con frontiere interne richiede il termine correttivo legato al numero di buchi.

Vedi anche: poligono reticolare, triangolo, determinante, prodotto misto e formulario di geometria euclidea.