Poligono reticolare

Un poligono reticolare è un poligono piano i cui vertici appartengono a un reticolo, cioè a un insieme regolare di punti distribuiti nel piano. Nel caso più comune si lavora nel reticolo intero:

\mathbb{Z}^2=\{(m,n):\ m,n\in\mathbb{Z}\}

quindi tutti i vertici del poligono hanno coordinate intere.

La nozione è importante perché collega geometria e aritmetica: area, bordo e forma del poligono possono essere studiati contando punti a coordinate intere e usando proprietà elementari dei numeri interi.

Definizione nel piano cartesiano

Nel reticolo standard $\mathbb Z^2$ , un poligono con vertici:

P_1=(x_1,y_1),\ P_2=(x_2,y_2),\ldots,\ P_n=(x_n,y_n)

è reticolare se:

x_i,y_i\in\mathbb Z \qquad \text{per ogni } i=1,\ldots,n.

I lati non devono necessariamente essere orizzontali o verticali: possono essere obliqui, purché i loro estremi siano punti del reticolo. Un triangolo con vertici $(0,0)$ , $(4,0)$ e $(1,3)$ è reticolare; un triangolo con vertice $(\sqrt2,1)$ non lo è nel reticolo intero standard.

Reticoli diversi da $\mathbb Z^2$

Il reticolo intero è il caso più usato negli esercizi, ma non è l’unico. In generale un reticolo piano può essere generato da due vettori indipendenti $\mathbf u$ e $\mathbf v$ :

\Lambda=\{m\mathbf u+n\mathbf v:\ m,n\in\mathbb Z\}.

Un poligono è reticolare rispetto a $\Lambda$ se i suoi vertici appartengono a questo insieme. Molti risultati si trasportano dal reticolo standard a reticoli affini, ma l’area va interpretata rispetto alla cella fondamentale del reticolo, non sempre rispetto al quadratino unitario cartesiano.

Punti interni e punti di bordo

Per un poligono reticolare semplice si distinguono due quantità:

Simbolo	Definizione	Uso
$\displaystyle I$	Numero di punti reticolari interni	Misura quanti punti del reticolo cadono dentro il poligono.
$\displaystyle B$	Numero di punti reticolari sul bordo	Conta i punti del reticolo appartenenti ai lati, vertici inclusi.
$\displaystyle A$	Area del poligono	Si collega a $I$ e $B$ tramite la formula di Pick.

La formula di Pick afferma che, per poligoni semplici senza buchi:

A=I+\dfrac{B}{2}-1

Questa relazione è sorprendente perché trasforma una grandezza metrica continua, l’area, in un conteggio discreto. Non dice però che tutti i poligoni con gli stessi valori di $I$ e $B$ abbiano la stessa forma: descrive l’area, non la geometria completa.

Conteggio dei punti sul bordo

Se un lato unisce i punti reticolari $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ , il numero di intervalli reticolari lungo quel segmento è:

\gcd(|x_2-x_1|,\ |y_2-y_1|)

Sommando questo valore su tutti i lati si ottiene il numero totale di punti reticolari sul bordo:

B=\sum_{\text{lati}}\gcd(|\Delta x|,\ |\Delta y|)

Questa formula conta correttamente i vertici una sola volta quando si percorre l’intero bordo chiuso.

Il motivo è che il vettore del lato è:

(\Delta x,\Delta y)=(x_2-x_1,\ y_2-y_1).

Il massimo numero di passi reticolari uguali lungo quel segmento è il massimo comun divisore di $|\Delta x|$ e $|\Delta y|$ . Se il massimo comun divisore è 1, il lato non contiene punti reticolari intermedi oltre agli estremi.

Esempio

Consideriamo il rettangolo con vertici:

(0,0),\ (4,0),\ (4,3),\ (0,3).

È un poligono reticolare perché tutti i vertici hanno coordinate intere. L’area è:

A=4\cdot 3=12.

I punti reticolari sul bordo sono:

B=2(4+3)=14.

Applicando Pick al contrario:

I=A-\dfrac{B}{2}+1 =12-7+1=6.

Infatti i punti interni sono quelli con ascissa $1,2,3$ e ordinata $1,2$ : in totale $3\cdot2=6$ punti.

Concavità e semplicità

Un poligono reticolare può essere concavo o convesso. La reticolarità riguarda solo la posizione dei vertici, non la forma globale. Un poligono concavo con vertici interi è comunque reticolare.

Per applicare direttamente la formula di Pick, però, il poligono deve essere semplice: i lati non devono auto-intersecarsi. Se sono presenti buchi, la relazione standard va corretta aggiungendo il numero di buchi. Se il bordo si incrocia, bisogna prima chiarire quale regione si considera interna, perché il semplice elenco dei vertici non basta più a definire un’area ordinaria.

Area e coordinate

Quando i vertici sono ordinati lungo il bordo, l’area può essere calcolata anche con la formula del laccio:

A=\dfrac12 \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i) \right|,

con la convenzione $P_{n+1}=P_1$ . Nei poligoni reticolari questa formula produce sempre un’area intera o semi-intera. È un fatto coerente con Pick: poiché $I$ e $B$ sono interi, il termine $I+B/2-1$ può essere intero o mezzo intero.

Perché è utile

I poligoni reticolari compaiono in geometria discreta, teoria dei numeri, combinatoria, grafica raster, geometria computazionale e modellazione su griglia. Sono utili quando una figura continua deve essere rappresentata su una griglia di punti, oppure quando un problema geometrico può essere trasformato in un conteggio.

In ambito didattico sono preziosi perché rendono visibile il legame tra:

coordinate intere;
massimo comun divisore sui lati;
area come determinante;
conteggio dei punti interni e di bordo;
triangolazioni in pezzi elementari.

Errori comuni

Il primo errore è pensare che un poligono sia reticolare solo se tutti i punti dei lati appartengono al reticolo. Serve invece che i vertici siano reticolari; i lati possono attraversare punti non interi.

Il secondo errore è contare nel bordo solo i vertici. Se un lato va da $(0,0)$ a $(6,4)$ , contiene punti reticolari intermedi perché:

\gcd(6,4)=2.

Il terzo errore è applicare Pick a figure con buchi o auto-intersezioni senza correzioni. In quei casi la formula standard non descrive più direttamente l’area della regione.

Vedi anche: formula di Pick, triangolo, determinante, poligono regolare e formulario di geometria euclidea.