Disuguaglianza di Hölder — ingegnerismo.it

La disuguaglianza di Hölder controlla l’integrale, o la somma, del prodotto di due quantità mediante le loro norme separate. È una generalizzazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e uno degli strumenti più usati in analisi funzionale, probabilità, equazioni differenziali e stima degli errori.

La forma più comune dice che, se $p$ e $q$ sono esponenti coniugati, cioè

\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1, \qquad 1<p<\infty,

allora

\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q.

Il punto operativo è semplice: un prodotto può essere difficile da integrare direttamente, ma Hölder permette di stimarlo separando i due fattori.

Forma discreta

Per vettori $x,y\in\mathbb{R}^n$ :

\sum_{i=1}^n |x_i y_i| \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^q\right)^{1/q}.

Quando $p=q=2$ si ottiene

\sum_{i=1}^n |x_i y_i| \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^2\right)^{1/2},

cioè Cauchy-Schwarz. In forma geometrica, questa stima garantisce che il prodotto scalare non superi il prodotto delle lunghezze euclidee.

Forma integrale

Se $f\in L^p(\Omega)$ e $g\in L^q(\Omega)$ , allora il prodotto $fg$ è integrabile e

\int_\Omega |f(x)g(x)|\,dx \le \left(\int_\Omega |f(x)|^p\,dx\right)^{1/p} \left(\int_\Omega |g(x)|^q\,dx\right)^{1/q}.

Questa formula permette di dimostrare che molti integrali sono finiti senza calcolarli. In meccanica, elettromagnetismo e termodinamica matematica serve spesso per controllare prodotti tra campo, gradiente, sorgente o funzione test.

Esponenti coniugati

Gli esponenti $p$ e $q$ si dicono coniugati. Alcune coppie tipiche sono:

$p$	$q$	Caso
$2$	$2$	Cauchy-Schwarz
$3$	$\dfrac{3}{2}$	prodotti con un fattore più regolare dell’altro
$\infty$	$1$	stima con valore massimo e integrale assoluto

Nel caso limite:

\|fg\|_1\le \|f\|_\infty\|g\|_1.

Questo dice che se un fattore è uniformemente limitato, il prodotto è controllato dalla norma integrale dell’altro.

Ruolo negli spazi Lp

Hölder è alla base della dualità tra spazi $L^p$ . Per $1<p<\infty$ , un funzionale del tipo

T_g(f)=\int_\Omega f(x)g(x)\,dx

è continuo su $L^p$ quando $g\in L^q$ . Infatti

|T_g(f)| \le \|f\|_p\|g\|_q.

In termini ingegneristici, questa è una garanzia di stabilità: una piccola variazione del campo $f$ in norma $L^p$ produce una variazione controllata della quantità misurata $T_g(f)$ .

Collegamento con Minkowski

La disuguaglianza di Minkowski usa Hölder per dimostrare la disuguaglianza triangolare nelle norme $L^p$ . Per questo Hölder e Minkowski compaiono spesso insieme: la prima controlla prodotti, la seconda controlla somme.

Errori comuni

usare esponenti non coniugati senza verificare $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ;
dimenticare il valore assoluto nell’integrale o nella somma;
confondere la disuguaglianza con una formula di uguaglianza: l’uguaglianza si verifica solo in casi particolari di proporzionalità;
applicare la forma $L^p$ senza controllare che $f$ e $g$ appartengano agli spazi richiesti;
trattare il caso $p=1$ come se avesse un coniugato finito: il coniugato naturale è $q=\infty$ .

Vedi anche: Disuguaglianza di Minkowski, Norma euclidea, Spazi Lp, Formulario di Analisi Matematica II.