La dominanza di Pareto è la relazione con cui si confrontano due soluzioni in un problema multiobiettivo senza comprimere tutti gli obiettivi in un unico punteggio. Una soluzione domina un’altra quando è almeno altrettanto buona in tutti i criteri considerati ed è strettamente migliore in almeno uno.
È un concetto centrale della ricerca operativa e dell’ottimizzazione multiobiettivo: serve a eliminare alternative chiaramente inferiori prima ancora di assegnare pesi, preferenze o priorità politiche. Se un progetto costa meno, consuma meno energia, produce meno emissioni e garantisce la stessa affidabilità di un altro, il secondo non ha ragione tecnica di restare tra le scelte efficienti.
Definizione per problemi di minimizzazione
In un problema di minimizzazione con obiettivi f_1,\dots,f_k, una soluzione x domina y se:
e se esiste almeno un indice j tale che:
La prima condizione esclude peggioramenti: x non deve essere peggiore di y in nessun obiettivo. La seconda evita il pareggio totale: almeno un obiettivo deve migliorare davvero.
Si può indicare questa relazione scrivendo x\prec y, con il significato “x domina y” nel senso di minimizzazione. Alcuni testi distinguono la dominanza debole, in cui vale solo f_i(x)\le f_i(y) per ogni i, dalla dominanza stretta o paretiana, in cui almeno una disuguaglianza è stretta.
Minimizzazione e massimizzazione
La definizione va adattata al verso degli obiettivi. Se tutti gli obiettivi sono da massimizzare, una soluzione x domina y quando:
con almeno un indice j tale che:
Nei problemi reali gli obiettivi possono avere versi misti: minimizzare costo e rischio, massimizzare rendimento e affidabilità. In questi casi conviene uniformare i versi, per esempio cambiando segno agli obiettivi da massimizzare oppure dichiarando esplicitamente per ogni criterio se “meglio” significa maggiore o minore.
Il punto operativo è che la dominanza dipende dal significato degli obiettivi, non solo dalle formule. Un valore numerico più grande può essere migliore per affidabilità, ma peggiore per costo, massa o emissioni.
Ordine parziale, non graduatoria totale
Se nessuna delle due soluzioni domina l’altra, le soluzioni sono incomparabili: una migliora alcuni criteri ma peggiora altri. Questa è la situazione tipica nei problemi multiobiettivo, non un caso marginale.
| Caso | Lettura |
|---|---|
| x domina y | y può essere scartata perché è peggiore o uguale in tutto. |
| y domina x | x può essere scartata. |
| Nessuna dominanza | Serve una scelta di compromesso o preferenza decisionale. |
Per questo la dominanza di Pareto non produce una classifica completa. Produce una pulizia logica dello spazio decisionale: elimina ciò che è dominato e lascia un insieme di alternative efficienti o potenzialmente interessanti.
Soluzioni non dominate e frontiera
Una soluzione è non dominata rispetto a un insieme di soluzioni ammissibili se nessun’altra soluzione dell’insieme la domina. L’insieme delle soluzioni non dominate nello spazio decisionale genera la frontiera di Pareto nello spazio degli obiettivi.
La distinzione è importante:
| Oggetto | Dove vive | Significato |
|---|---|---|
| soluzione x | spazio delle decisioni | configurazione, piano, progetto, politica |
| vettore f(x) | spazio degli obiettivi | valori di costo, rischio, tempo, qualità |
| soluzione non dominata | spazio delle decisioni | alternativa non scartabile con la sola dominanza |
| frontiera di Pareto | spazio degli obiettivi | compromessi efficienti osservabili |
In progettazione e gestione, la frontiera mostra il compromesso tra costo, prestazione, rischio, tempo, emissioni o altri criteri in conflitto. La dominanza è il test locale di confronto; la frontiera è il risultato collettivo del test applicato all’insieme delle alternative.
Esempio decisionale
Supponiamo di confrontare tre progetti con due obiettivi da minimizzare: costo e tempo di realizzazione.
| Progetto | Costo | Tempo |
|---|---|---|
| A | 100 | 12 |
| B | 120 | 10 |
| C | 130 | 14 |
Il progetto A domina C, perché costa meno e richiede meno tempo. Anche B domina C, perché costa meno e richiede meno tempo. A e B invece non si dominano: A costa meno, B è più rapido. La scelta finale tra A e B richiede una preferenza decisionale, per esempio quanto vale ridurre il tempo di due unità rispetto all’aumento di costo.
Questo esempio mostra perché la dominanza è un filtro, non una decisione completa. Scarta C, ma non decide automaticamente tra A e B.
Uso negli algoritmi
Negli algoritmi multiobiettivo, la dominanza viene usata per classificare popolazioni di soluzioni, costruire insiemi non dominati e misurare la qualità delle approssimazioni della frontiera. Nei metodi evolutivi, per esempio, le soluzioni non dominate vengono spesso favorite perché rappresentano compromessi diversi.
Nei problemi discreti o combinatori, il numero di alternative può essere molto grande. La dominanza permette di eliminare alternative senza calcolare una funzione di utilità arbitraria. Tuttavia, se gli obiettivi sono molti, il confronto perde selettività: con tanti criteri è più probabile che molte soluzioni risultino incomparabili. Questo fenomeno rende necessari indicatori aggiuntivi, vincoli, soglie o preferenze.
Relazione con pesi e preferenze
La dominanza di Pareto precede l’assegnazione dei pesi. Se una soluzione è dominata, non può diventare ottima per nessuna funzione di utilità monotona coerente con gli obiettivi: esiste già un’alternativa non peggiore in tutto e migliore in qualcosa.
Le preferenze entrano dopo, quando bisogna scegliere tra soluzioni non dominate. In quella fase si possono usare pesi, vincoli di budget, soglie minime, analisi di sensitività, criteri di rischio, scenari o consultazione del decisore. La dominanza non sostituisce il giudizio: lo disciplina, eliminando prima le alternative logicamente inferiori.
Errori comuni
Il primo errore è trattare la dominanza come un ordinamento totale. In realtà è un ordine parziale: molte soluzioni possono restare non confrontabili.
Il secondo errore è dimenticare il verso degli obiettivi. Una formula scritta per minimizzazione non può essere applicata senza adattamenti a obiettivi da massimizzare.
Il terzo errore è confondere efficienza di Pareto con scelta migliore in assoluto. Una soluzione non dominata può essere troppo costosa, rischiosa o inaccettabile per vincoli non modellati.
Il quarto errore è confondere la dominanza di Pareto con la distribuzione di Pareto. Condividono il nome storico, ma la prima riguarda decisioni multiobiettivo, la seconda una legge probabilistica a coda pesante.
Per il quadro operativo completo si può consultare il formulario di ricerca operativa. Voci collegate: frontiera di Pareto, ottimizzazione robusta, decisioni in incertezza e programmazione lineare.