Le decisioni in incertezza confrontano alternative il cui risultato dipende da scenari futuri non controllabili: domanda di mercato, prezzo delle materie prime, guasti, ritardi, condizioni ambientali o risposta dei concorrenti.
La forma base è una matrice dei payoff:
dove v_{ij} è il risultato della decisione a_i quando si realizza lo scenario s_j. Se i valori sono ricavi o utilità si massimizza; se sono costi, perdite o tempi si minimizza oppure si cambia segno alla matrice.
Struttura del problema
Un problema decisionale in incertezza separa ciò che il decisore controlla da ciò che non controlla. Le alternative sono azioni disponibili; gli scenari sono stati del mondo; i payoff sono le conseguenze misurabili.
| Elemento | Simbolo | Ruolo operativo |
|---|---|---|
| Alternative | \displaystyle a_i,\ i=1,\dots,n | Scelte disponibili: produrre, investire, acquistare, aprire capacità, scegliere un fornitore. |
| Scenari | \displaystyle s_j,\ j=1,\dots,m | Stati futuri non controllabili. |
| Payoff | \displaystyle v_{ij} | Risultato della decisione \displaystyle a_i nello scenario \displaystyle s_j. |
| Probabilità | \displaystyle p_j | Peso dello scenario quando è stimabile in modo credibile. |
Per esempio:
Criteri senza probabilità
Quando non esistono probabilità affidabili, la scelta dipende dall’atteggiamento verso l’incertezza. Non c’è un criterio universalmente “vero”: ogni regola incorpora una posizione decisionale diversa.
| Criterio | Formula per payoff da massimizzare | Lettura |
|---|---|---|
| Ottimistico, o maximax | \displaystyle a^\ast=\arg\max_i\max_j v_{ij} | Sceglie l’alternativa con il miglior esito possibile. |
| Wald, o maximin | \displaystyle a^\ast=\arg\max_i\min_j v_{ij} | Massimizza il risultato peggiore e protegge dallo scenario sfavorevole. |
| Laplace | \displaystyle a^\ast=\arg\max_i\dfrac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}v_{ij} | Tratta gli scenari come equiprobabili quando non ci sono preferenze informative. |
| Hurwicz | \displaystyle a^\ast=\arg\max_i\left\{\alpha\max_j v_{ij}+(1-\alpha)\min_j v_{ij}\right\} | Interpola ottimismo e prudenza con \displaystyle 0\le\alpha\le1. |
| Savage, o minimax regret | \displaystyle a^\ast=\arg\min_i\max_j r_{ij} | Minimizza il rimpianto massimo rispetto alla scelta migliore ex post. |
Matrice dei rimpianti
Il criterio di Savage non usa direttamente i payoff, ma la perdita di opportunità rispetto alla decisione che sarebbe stata migliore conoscendo lo scenario. Per payoff da massimizzare:
La matrice R=(r_{ij}) misura quanto si perde scegliendo a_i invece dell’alternativa migliore nello scenario s_j. La decisione è:
Questo criterio è utile quando il decisore vuole limitare la possibilità di dire, a posteriori, “avrei potuto fare molto meglio”.
Probabilità note e valore atteso
Se gli scenari hanno probabilità credibili, il problema passa dall’incertezza pura alla decisione in condizioni di rischio. Il valore atteso dell’alternativa a_i è:
e il criterio monetario atteso sceglie:
Il valore atteso va usato con cautela: è naturale in decisioni ripetute, portafogli di scelte o rischi assorbibili; è meno adatto quando una singola perdita estrema può compromettere l’organizzazione.
Il valore atteso con informazione perfetta è:
Il valore dell’informazione perfetta misura quanto varrebbe conoscere lo scenario prima di scegliere:
Se EVPI è basso, non conviene spendere molto per ulteriori analisi o ricerche di mercato; se è alto, informazione, test pilota e simulazioni possono avere valore economico.
Incertezza, rischio e robustezza
| Situazione | Informazione disponibile | Strumento coerente |
|---|---|---|
| Incertezza pura | \displaystyle p_j\ \text{non noti} | Criteri Wald, Laplace, Hurwicz, Savage. |
| Rischio | \displaystyle p_j\ \text{stimabili} | Valore atteso, utilità attesa, simulazione. |
| Robustezza | \displaystyle \xi\in\mathcal{U} | Ottimizzazione robusta su insiemi di incertezza. |
| Decisioni sequenziali | \displaystyle x\ \text{prima},\ y(\xi)\ \text{dopo} | Programmazione stocastica a scenari o a due stadi. |
Schema operativo
| Passo | Controllo | Esito pratico |
|---|---|---|
| Definire alternative e scenari | \displaystyle a_i,\ s_j | Evita di mescolare decisioni controllabili e variabili esterne. |
| Stabilire il verso del payoff | \displaystyle \max v_{ij} oppure \displaystyle \min c_{ij} | Impedisce di applicare maximin o minimax al segno sbagliato. |
| Valutare le probabilità | \displaystyle p_j affidabili o no | Decide se usare criteri senza probabilità o valore atteso. |
| Misurare la perdita ex post | \displaystyle r_{ij} | Introduce il criterio di Savage quando il rimpianto è rilevante. |
| Stimare il valore dell’informazione | \displaystyle EVPI | Decide se conviene raccogliere dati aggiuntivi. |
Errori comuni
Il primo errore è usare il valore atteso quando le probabilità sono solo impressioni qualitative. In quel caso il numero finale sembra oggettivo, ma dipende da pesi arbitrari.
Il secondo è confondere payoff monetario e preferenza reale. Due alternative con lo stesso valore atteso possono essere molto diverse per rischio di rovina, liquidità o impatto reputazionale; in questi casi serve l’utilità attesa.
Il terzo è applicare criteri di massimizzazione a una matrice di costi senza trasformarla. Se c_{ij} sono costi, il criterio prudente diventa minimizzare il costo peggiore, non massimizzare il minimo.
Approfondimenti: Formulario di Ricerca Operativa, ricerca operativa, programmazione stocastica, ottimizzazione robusta, metodo Monte Carlo.