Una trasformazione politropica è descritta dalla legge:
Il parametro n è detto esponente politropico e permette di rappresentare processi intermedi tra trasformazioni ideali. La legge è usata soprattutto per gas comprimibili in compressori, turbine, cilindri, pompe volumetriche, espansioni tecniche e trasformazioni quasi statiche in cui lo scambio termico non è né nullo né sufficiente a mantenere la temperatura costante.
| Valore di n | Caso |
|---|---|
| 0 | isobara |
| 1 | isoterma per gas ideale |
| \gamma | adiabatica reversibile per gas ideale |
| n\to\infty | isocora |
Relazioni per gas ideale
Per un gas ideale vale anche:
Combinando questa relazione con pV^n=C si ottengono forme equivalenti:
e:
Queste formule permettono di collegare stati iniziali e finali senza integrare tutto il percorso. Per esempio, noti T_i, V_i, V_f e n, si ricava:
Se n>1, una compressione tende ad aumentare la temperatura; se n=1, la temperatura resta costante nel modello ideale; se n<1, lo scambio termico può compensare o superare l’effetto della compressione.
Lavoro politropico
Assumendo trasformazione reversibile o quasi statica, il lavoro svolto dal gas è:
per n\ne1. Usando l’equazione di stato del gas ideale:
Nel caso isoterma, n=1, l’integrale va trattato separatamente:
Il segno dipende dalla convenzione adottata. Qui W è il lavoro compiuto dal sistema: positivo in espansione, negativo in compressione. In termotecnica applicata, soprattutto per macchine operatrici, si usa spesso il lavoro assorbito dal compressore con segno opposto.
Calore scambiato e primo principio
Per un gas ideale con calore specifico c_v costante:
Con la convenzione Q=\Delta U+W, per n\ne1:
Questa formula chiarisce il ruolo di n: l’esponente non è solo un parametro geometrico della curva p-V, ma riassume in modo compatto il bilancio tra lavoro, variazione di energia interna e scambio termico. Per n=\gamma=c_p/c_v, il termine tra parentesi si annulla e la trasformazione ideale è adiabatica reversibile.
Interpretazione fisica
Nelle macchine reali l’esponente politropico si determina spesso dai dati di ingresso e uscita:
Non è una costante universale del fluido: dipende dal processo, dalla macchina, dalle perdite, dallo scambio termico con le pareti, dalla velocità della trasformazione e dall’intervallo di stati considerato. Usarlo come proprietà del gas è un errore concettuale.
In una compressione reale, valori di n vicini a 1 indicano scambio termico efficace verso l’esterno e andamento quasi isotermo; valori vicini a \gamma indicano trasformazione più rapida o più isolata, quindi quasi adiabatica. Nei compressori multistadio con raffreddamento intermedio, ridurre n riduce il lavoro richiesto.
Limiti del modello
La relazione pV^n=C è un modello empirico o semplificato. Funziona bene per descrivere un tratto di trasformazione, ma può perdere validità se cambiano fase, composizione, calori specifici, regime di flusso o intensità degli scambi termici. Nei gas reali ad alta pressione, vicino alla condensazione o in presenza di forti irreversibilità, servono equazioni di stato e bilanci più dettagliati.
Vedi anche: Trasformazione isoterma, Trasformazione adiabatica, Gas ideale.