Il potenziale elettrico è la grandezza scalare che misura l’energia potenziale elettrica per unità di carica. In elettrostatica permette di sostituire il calcolo vettoriale del campo elettrico con il calcolo di una funzione scalare: una volta noto il potenziale, il campo si ottiene come suo gradiente negativo.
Definizione energetica
Se una carica q posta in un punto ha energia potenziale elettrica U, il potenziale nel punto è:
L’unità di misura è il volt:
Il valore assoluto di V dipende dalla scelta dello zero di riferimento; ciò che ha significato fisico diretto è la differenza di potenziale tra due punti. Per questo nei circuiti la grandezza più usata è la tensione.
Relazione con il campo elettrico
In un campo elettrostatico conservativo la differenza di potenziale tra due punti A e B è l’opposto del lavoro del campo per unità di carica:
Se il punto di riferimento è l’infinito e il potenziale all’infinito è posto uguale a zero:
La relazione locale è:
Il segno meno indica che il campo elettrico punta verso la direzione in cui il potenziale diminuisce più rapidamente.
Casi notevoli
| Sistema elettrostatico | Potenziale | Nota d’uso |
|---|---|---|
| Carica puntiforme nel vuoto | \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} | Valido fuori dalla carica; lo zero è scelto all’infinito. |
| Più cariche puntiformi | \displaystyle V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{r_i} | Il potenziale è scalare: si sommano contributi con segno. |
| Distribuzione continua di carica | \displaystyle V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf r')}{\Vert\mathbf r-\mathbf r'\Vert}\,d\tau' | Forma utile quando è nota la densità volumica di carica. |
| Campo uniforme lungo lo spostamento | \displaystyle \Delta V=-E\,d | Il potenziale diminuisce nel verso del campo. |
| Sfera conduttrice carica, esterno | \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r} | All’esterno equivale a una carica puntiforme al centro. |
| Conduttore in equilibrio, interno | \displaystyle V=\text{costante} | Il campo interno è nullo e il conduttore è equipotenziale. |
La formula per la carica puntiforme deriva direttamente dalla legge di Coulomb. Per distribuzioni con simmetria elevata può essere più rapido ricavare prima il campo con il teorema di Gauss e poi integrare il campo per ottenere V.
Energia e lavoro
Il potenziale collega immediatamente energia e moto delle cariche. Per una carica q:
e tra due punti:
Il lavoro compiuto dal campo elettrico nello spostamento da A a B è:
Una carica positiva tende spontaneamente verso potenziali minori; una carica negativa, come l’elettrone, accelera in verso opposto al campo e può aumentare energia cinetica attraversando una differenza di potenziale.
Equipotenziali e conduttori
Una superficie equipotenziale è un insieme di punti in cui V è costante. Spostare una carica lungo una superficie equipotenziale non richiede lavoro elettrostatico:
Il campo elettrico è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei conduttori in equilibrio elettrostatico il campo interno è nullo, quindi tutto il volume del conduttore è allo stesso potenziale; le cariche libere si ridistribuiscono sulla superficie fino a soddisfare questa condizione.
Schema operativo
| Obiettivo | Relazione da usare | Attenzione |
|---|---|---|
| Trovare il potenziale da una carica puntiforme | \displaystyle V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} | Il segno della carica determina il segno del potenziale. |
| Trovare il potenziale da più cariche | \displaystyle V=\sum_i V_i | Somma scalare, non vettoriale. |
| Ricavare il campo da un potenziale noto | \displaystyle \mathbf E=-\nabla V | Il campo punta verso potenziale decrescente. |
| Ricavare la tensione in campo uniforme | \displaystyle \Delta V=-E\,d | Il segno dipende dall’orientazione dello spostamento. |
| Calcolare energia potenziale | \displaystyle U=qV | Una carica negativa inverte il segno dell’energia rispetto al potenziale. |
| Calcolare il lavoro del campo | \displaystyle W_{\text{campo}}=q[V(A)-V(B)] | Il lavoro esterno reversibile ha segno opposto. |
Errori comuni
Il potenziale non è un vettore: non si sommano componenti, ma valori scalari con il loro segno. Non va inoltre confuso il potenziale assoluto, che richiede una scelta arbitraria dello zero, con la differenza di potenziale misurabile. Infine, la relazione \mathbf E=-\nabla V vale come descrizione scalare globale solo in elettrostatica; nei fenomeni induttivi serve la formulazione completa dei campi elettromagnetici.
Approfondimenti: Campo elettrico, Tensione, Condensatore, Equazione di Poisson, Potenziale elettrico: esercizi svolti.