Il fasore è la rappresentazione complessa di una grandezza sinusoidale in regime permanente, quando tutte le grandezze del circuito hanno la stessa frequenza. Invece di seguire istante per istante una sinusoide, il metodo conserva le due informazioni che contano nei calcoli di regime: il valore efficace e la fase.
Per una grandezza
la convenzione più usata in elettrotecnica è:
Il simbolo j indica l’unità immaginaria usata nei circuiti elettrici, per evitare confusione con la corrente i(t). La dipendenza temporale comune e^{j\omega t} viene sottintesa: resta implicita finché si lavora alla stessa pulsazione \omega.
Nel piano complesso il fasore si legge come un vettore fisso: il modulo è il valore efficace, mentre l’argomento è la fase rispetto al riferimento scelto.
| Elemento | Lettura nel fasore | Significato circuitale |
|---|---|---|
| Modulo \lvert\overline X\rvert | \displaystyle X_{\mathrm{eff}} | ampiezza efficace della grandezza |
| Argomento \arg(\overline X) | \displaystyle \varphi | fase iniziale rispetto al riferimento |
| Parte reale | \displaystyle X_{\mathrm{eff}}\cos\varphi | componente in fase |
| Parte immaginaria | \displaystyle X_{\mathrm{eff}}\sin\varphi | componente in quadratura |
Dal tempo al piano complesso
Il passaggio fasoriale è una codifica, non una nuova grandezza fisica. La sinusoide reale si recupera prendendo la parte reale del fasore moltiplicato per la rotazione comune:
La radice \sqrt2 compare perché \overline X contiene il valore efficace, non il valore di picco. Se invece si usa una convenzione a valore massimo, la ricostruzione cambia; per questo è essenziale non mescolare fasori efficaci e fasori di picco nello stesso calcolo.
| Descrizione | Forma nel tempo | Fasore efficace |
|---|---|---|
| Sinusoide generica | \displaystyle x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi) | \displaystyle \overline X=X_{\mathrm{eff}}e^{j\varphi} |
| Tensione di riferimento | \displaystyle v(t)=V_m\cos(\omega t) | \displaystyle \overline V=V_{\mathrm{eff}}\angle0 |
| Corrente sfasata | \displaystyle i(t)=I_m\cos(\omega t+\theta) | \displaystyle \overline I=I_{\mathrm{eff}}\angle\theta |
Il fasore quindi separa ciò che è comune a tutte le grandezze, cioè \omega t, da ciò che distingue ogni grandezza: modulo e fase iniziale.
Operatori in regime sinusoidale
Il vantaggio è che derivate e integrali diventano operazioni algebriche:
Questa sostituzione è il motivo per cui le equazioni differenziali dei circuiti con condensatori e induttori diventano equazioni algebriche con impedenze complesse.
| Operazione sul segnale | Operazione sul fasore | Uso pratico |
|---|---|---|
| \displaystyle \dfrac{d}{dt}x(t) | \displaystyle j\omega\overline X | Corrente di un condensatore, tensione su un induttore |
| \displaystyle \int x(t)\,dt | \displaystyle \dfrac{\overline X}{j\omega} | Tensione su un condensatore, flusso magnetico ideale |
| \displaystyle ax(t)+by(t) | \displaystyle a\overline X+b\overline Y | Sovrapposizione lineare di sorgenti alla stessa frequenza |
La trasformazione funziona perché derivare una sinusoide alla stessa frequenza modifica modulo e fase, ma non genera nuove frequenze. In un circuito lineare a singola frequenza, tutti i segnali restano quindi descrivibili nello stesso piano complesso.
Collegamento con impedenza
In regime sinusoidale la legge di Ohm diventa:
Il numero complesso Z racchiude sia l’opposizione dissipativa sia lo sfasamento prodotto dagli elementi reattivi. Per i componenti ideali principali:
| Componente | Relazione fasoriale | Impedenza |
|---|---|---|
| Resistore | \displaystyle \overline V=R\overline I | \displaystyle Z_R=R |
| Induttore | \displaystyle \overline V=j\omega L\,\overline I | \displaystyle Z_L=j\omega L |
| Condensatore | \displaystyle \overline V=\dfrac{1}{j\omega C}\,\overline I | \displaystyle Z_C=\dfrac{1}{j\omega C} |
La parte immaginaria dell’impedenza è la reattanza. Se è positiva il comportamento netto è induttivo; se è negativa il comportamento netto è capacitivo. La stessa notazione consente anche di calcolare la potenza complessa, usando fasori efficaci di tensione e corrente.
Quando è valido
Il metodo fasoriale richiede tre condizioni operative:
- regime sinusoidale permanente, quindi transitori esauriti;
- circuito lineare, o linearizzato intorno al punto di lavoro;
- stessa frequenza per tutte le grandezze considerate.
Se il segnale contiene più frequenze, come accade in una forma d’onda non sinusoidale, si lavora armonica per armonica con strumenti di analisi spettrale. Se invece il circuito è in accensione, commutazione o guasto, il fasore di regime non descrive la dinamica temporale completa.
Errori comuni
L’errore più frequente è usare il valore di picco in una formula costruita per valori efficaci. In quel caso le potenze risultano errate di un fattore due. Un secondo errore è dimenticare il segno della fase: anticipi e ritardi cambiano il segno della parte immaginaria e quindi il verso della potenza reattiva. Il terzo errore è applicare i fasori a segnali non sinusoidali come se fossero una sola sinusoide equivalente: senza una decomposizione in armoniche, il passaggio perde significato.
Per il prerequisito matematico, vedi numeri complessi, piano di Argand-Gauss e formula di Eulero; per il contesto fisico e circuitale, vedi corrente alternata e gli esercizi svolti sul regime sinusoidale e fasori.