In regime sinusoidale le grandezze oscillano alla stessa frequenza, quindi si rappresentano con fasori (numeri complessi) che ne racchiudono ampiezza e fase. L’analisi diventa algebra complessa:
- valore efficace: V_{eff}=V_m/\sqrt{2};
- pulsazione: \omega=2\pi f;
- impedenza: \bar Z=R+jX, con reattanza induttiva X_L=\omega L e capacitiva X_C=-1/(\omega C);
- legge di Ohm simbolica: \bar V=\bar Z\,\bar I.
1. Valore efficace e di picco
Esercizio. Una tensione di rete ha valore efficace V_{eff}=230\ \text{V}. Quale valore di picco?
V_m=\sqrt{2}\,V_{eff}=1{,}414\times230\approx325\ \text{V}.
Il picco è circa 325\ \text{V}: i “230 V” nominali sono il valore efficace, non il massimo.
2. Pulsazione dalla frequenza
Esercizio. Rete europea a f=50\ \text{Hz}. Calcolare la pulsazione \omega.
\omega=2\pi f=2\pi\times50=314\ \text{rad/s}.
3. Reattanza induttiva
Esercizio. Un induttore L=0{,}10\ \text{H} a f=50\ \text{Hz}. Calcolare la reattanza induttiva X_L.
X_L=\omega L=314\times0{,}10=31{,}4\ \Omega.
La reattanza induttiva cresce con la frequenza: l’induttore ostacola di più i segnali veloci.
4. Reattanza capacitiva
Esercizio. Un condensatore C=100\ \mu\text{F} a f=50\ \text{Hz}. Calcolare la reattanza capacitiva X_C (in modulo).
X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{314\times100\times10^{-6}}=\dfrac{1}{0{,}0314}=31{,}8\ \Omega.
La reattanza capacitiva diminuisce con la frequenza: il condensatore lascia passare meglio le alte frequenze.
5. Impedenza di un circuito RL serie
Esercizio. R=30\ \Omega in serie a X_L=40\ \Omega. Calcolare modulo e fase dell’impedenza.
Passo 1 — impedenza complessa. \bar Z=R+jX_L=30+j40.
Passo 2 — modulo.
|\bar Z|=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\ \Omega.
Passo 3 — fase.
\varphi=\arctan\dfrac{X_L}{R}=\arctan\dfrac{40}{30}=53{,}1°.
La corrente è in ritardo di 53{,}1° sulla tensione (carico induttivo).
6. Corrente con legge di Ohm simbolica
Esercizio. Il circuito RL precedente (|\bar Z|=50\ \Omega) è alimentato a V_{eff}=100\ \text{V}. Calcolare il valore efficace della corrente.
I_{eff}=\dfrac{V_{eff}}{|\bar Z|}=\dfrac{100}{50}=2{,}0\ \text{A}.
La corrente è in ritardo di 53{,}1° rispetto alla tensione.
7. Impedenza di un circuito RC serie
Esercizio. R=40\ \Omega in serie a un condensatore con X_C=30\ \Omega. Modulo e fase dell’impedenza.
Passo 1 — impedenza. \bar Z=R-jX_C=40-j30 (la reattanza capacitiva è negativa).
Passo 2 — modulo.
|\bar Z|=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\ \Omega.
Passo 3 — fase.
\varphi=\arctan\dfrac{-X_C}{R}=\arctan\dfrac{-30}{40}=-36{,}9°.
Fase negativa: la corrente è in anticipo sulla tensione (carico capacitivo).
8. Circuito RLC serie
Esercizio. R=10\ \Omega, X_L=50\ \Omega, X_C=30\ \Omega in serie. Impedenza totale?
Passo 1 — reattanza netta. X=X_L-X_C=50-30=20\ \Omega (prevale l’induttiva).
Passo 2 — modulo.
|\bar Z|=\sqrt{R^2+X^2}=\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{100+400}=\sqrt{500}=22{,}4\ \Omega.
Il circuito è complessivamente induttivo (X>0).
9. Frequenza di risonanza
Esercizio. Un circuito RLC serie con L=10\ \text{mH} e C=1{,}0\ \mu\text{F}. Calcolare la frequenza di risonanza.
Alla risonanza X_L=X_C, quindi:
Alla risonanza l’impedenza è puramente resistiva e minima; la corrente è massima.
10. Impedenza alla risonanza
Esercizio. Per il circuito precedente (R=5{,}0\ \Omega) alla frequenza di risonanza, quale impedenza e quale corrente con V_{eff}=10\ \text{V}?
Passo 1 — impedenza. Alla risonanza X_L=X_C, quindi \bar Z=R=5{,}0\ \Omega (puramente resistiva).
Passo 2 — corrente (massima).
I_{eff}=\dfrac{V_{eff}}{R}=\dfrac{10}{5{,}0}=2{,}0\ \text{A}.
A risonanza la corrente è limitata solo da R: è il valore massimo, base della sintonizzazione.
11. Corrente come fasore complesso
Esercizio. Un carico ha impedenza \bar Z=30+j40\ \Omega ed è alimentato da \bar V=100\angle0^\circ\ \text{V}. Calcolare il fasore corrente.
Dal punto 5:
Quindi:
In forma cartesiana:
La parte immaginaria negativa indica corrente in ritardo rispetto alla tensione, coerente con un carico induttivo.
12. Fattore di potenza da impedenza
Esercizio. Per il carico \bar Z=30+j40\ \Omega, calcolare il fattore di potenza e dire se è induttivo o capacitivo.
Il fattore di potenza è:
Poiché la reattanza è positiva (+j40), il carico è induttivo e la corrente è in ritardo. Si scrive spesso:
Il fattore di potenza non dice solo quanta potenza è attiva: il segno della reattanza dice anche se il carico assorbe reattiva induttiva o capacitiva.
13. Ammettenza di un carico RC
Esercizio. Un carico RC parallelo ha R=100\ \Omega e C=100\ \mu\text{F} a 50\ \text{Hz}. Calcolare l’ammettenza.
Conduttanza:
Suscettanza capacitiva:
Quindi:
Nei paralleli conviene lavorare con le ammettenze: si sommano direttamente, mentre le impedenze richiedono reciproci.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Valore efficace | V_{eff}=V_m/\sqrt{2} |
| Pulsazione | \omega=2\pi f |
| Reattanza induttiva | X_L=\omega L |
| Reattanza capacitiva | X_C=1/(\omega C) |
| Modulo impedenza | $ |
| Fase | \varphi=\arctan(X/R) |
| Risonanza | f_0=1/(2\pi\sqrt{LC}) |
Errori da evitare:
- confondere valore efficace e di picco (V_m=\sqrt{2}\,V_{eff});
- dimenticare il 2\pi nel passaggio frequenza → pulsazione;
- sbagliare il segno della reattanza: induttiva positiva, capacitiva negativa;
- nel circuito RLC, usare la reattanza netta X=X_L-X_C, non le singole.
- dividere fasori usando solo i moduli: anche gli angoli vanno sottratti.
- forzare sempre l’analisi in impedenze: nei paralleli spesso l’ammettenza è più pulita.