La formula di Grübler-Kutzbach stima la mobilità di un meccanismo, cioè il numero di coordinate indipendenti necessarie per descriverne il moto. È una formula di conteggio: parte dai gradi di libertà dei membri liberi e sottrae i vincoli introdotti dalle coppie cinematiche.
Per i meccanismi piani nella forma più usata:
dove M è la mobilità, n è il numero di membri compreso il telaio, C_1 è il numero di coppie cinematiche piane a un grado di libertà e C_2 è il numero di coppie a due gradi di libertà.
La logica è un bilancio di vincoli: nel piano ogni membro libero ha tre gradi di libertà, ma il telaio è fisso, quindi si parte da 3(n-1). Ogni coppia a un grado di libertà, come una cerniera o una slitta, elimina due gradi di libertà; ogni coppia a due gradi ne elimina uno.
Significato dei termini
| Termine | Formula o valore | Significato |
|---|---|---|
| Mobilità | \displaystyle M | Numero di ingressi indipendenti necessari per comandare il meccanismo. |
| Membri mobili | \displaystyle n-1 | Tutti i membri escluso il telaio fisso. |
| Gradi liberi nel piano | \displaystyle 3(n-1) | Due traslazioni e una rotazione per ciascun membro mobile. |
| Coppie a un grado di libertà | \displaystyle C_1 | Cerniere e guide prismatiche piane; ciascuna sottrae due gradi di libertà. |
| Coppie a due gradi di libertà | \displaystyle C_2 | Contatti che lasciano due moti relativi; ciascuno sottrae un grado di libertà. |
Il risultato va interpretato come stima strutturale. Se M=1, il meccanismo è in genere comandabile con un solo ingresso. Se M=0, il sistema è cinematicamente bloccato e si comporta come una struttura. Se M<0, il conteggio segnala vincoli sovrabbondanti, anche se configurazioni geometriche speciali possono alterare la mobilità reale.
Esempio: quadrilatero articolato
Un quadrilatero articolato ha quattro membri, telaio incluso, e quattro cerniere:
Il risultato indica che basta un solo motore, o una sola coordinata generalizzata, per imporre la configurazione del meccanismo ideale.
Forma spaziale
Per meccanismi spaziali, un corpo rigido libero ha sei gradi di libertà. La forma generale diventa:
dove f_i è il numero di gradi di libertà lasciati dalla coppia cinematica i. La quantità 6-f_i è quindi il numero di vincoli imposti da quella coppia.
| Caso | Formula | Quando usarla |
|---|---|---|
| Meccanismo piano | \displaystyle M=3(n-1)-2C_1-C_2 | Cinematismi piani con cerniere, slitte e contatti planari. |
| Meccanismo spaziale | \displaystyle M=6(n-1)-\sum_i(6-f_i) | Cinematismi tridimensionali con giunti spaziali. |
| Catena senza vincoli ridondanti | \displaystyle M pari alla mobilità reale | Caso ideale per cui il conteggio è affidabile. |
| Catena con vincoli speciali | \displaystyle M solo indicativo | Serve analisi geometrica o cinematica dettagliata. |
Ipotesi e limiti
La formula presuppone corpi rigidi, giunti ideali, vincoli indipendenti e assenza di giochi o deformazioni elastiche significative. Non riconosce automaticamente vincoli ridondanti, allineamenti particolari, contatti intermittenti o configurazioni singolari. Per questo è un primo controllo di progetto, non una prova completa di funzionamento.
Un errore frequente è applicare il conteggio piano a un meccanismo spaziale, o viceversa. Un altro errore è contare male il telaio: il telaio è un membro e va incluso in n, ma non contribuisce ai gradi di libertà mobili perché è fissato.
Uso operativo
- Contare tutti i membri, telaio incluso.
- Classificare ogni coppia cinematica in base ai gradi di libertà che lascia.
- Applicare la formula piana o spaziale coerente con il moto reale.
- Interpretare M alla luce della geometria effettiva del meccanismo.
Vedi anche: meccanismo, coppia cinematica, grado di libertà, formulario di meccanica applicata alle macchine, meccanismi e gradi di libertà: esercizi svolti.