Un meccanismo è un insieme di corpi rigidi (membri) collegati da coppie cinematiche che ne vincolano il moto, progettato per trasmettere e trasformare movimento. Il primo passo dell’analisi è contare i gradi di libertà (mobilità): quanti movimenti indipendenti il meccanismo possiede. Questa scheda allena il conteggio della mobilità e la cinematica dei meccanismi piani classici.
Formula di Grübler-Kutzbach (piano): \;M=3(n-1)-2C_1-C_2, con n membri, C_1 coppie a 1 g.d.l., C_2 coppie a 2 g.d.l.
1. Gradi di libertà di un corpo libero
Esercizio. Quanti gradi di libertà ha un corpo rigido nel piano e nello spazio?
Nel piano un corpo libero ha:
M_{piano}=3\quad(\text{2 traslazioni}+\text{1 rotazione}).
Nello spazio ne ha 6 (3 traslazioni + 3 rotazioni). Le coppie cinematiche sottraggono gradi di libertà vincolando il moto relativo tra i membri.
2. Coppie cinematiche piane
Esercizio. Quanti gradi di libertà lascia una coppia rotoidale (cerniera) e una coppia prismatica?
Entrambe sono coppie inferiori a 1 grado di libertà (C_1):
- rotoidale (cerniera): lascia la sola rotazione relativa;
- prismatica (pattino): lascia la sola traslazione relativa.
Ciascuna sottrae 2 gradi di libertà nel piano. Le coppie a 2 g.d.l. (C_2, es. contatto puntiforme che rotola e striscia) ne sottraggono uno solo.
3. Mobilità del quadrilatero articolato
Esercizio. Calcolare la mobilità di un quadrilatero articolato (4 membri, 4 cerniere).
Con n=4, C_1=4 coppie rotoidali, C_2=0:
M=3(4-1)-2\times4-0=9-8=1.
Mobilità M=1: un solo grado di libertà. Imponendo il moto a un membro (la manovella), tutto il meccanismo è determinato. È la base di bielle, manovellismi e cinematismi.
4. Manovellismo di spinta
Esercizio. Verificare la mobilità del manovellismo di spinta (manovella-biella-pistone): 4 membri, 3 cerniere, 1 coppia prismatica.
n=4,\quad C_1=3\ \text{rotoidali}+1\ \text{prismatica}=4,\quad C_2=0.
M=3(4-1)-2\times4=9-8=1.
Mobilità 1: il manovellismo trasforma la rotazione della manovella nel moto alternativo del pistone (motori, pompe). Un solo ingresso determina l’intero moto.
5. Rapporto di trasmissione cinematico
Esercizio. In un quadrilatero, la manovella ruota a \omega_1=100\ \text{rad/s} e in una certa configurazione il bilanciere ruota a \omega_3=40\ \text{rad/s}. Calcolare il rapporto di trasmissione.
\tau=\dfrac{\omega_3}{\omega_1}=\dfrac{40}{100}=0{,}4.
Il rapporto di trasmissione lega le velocità angolari di ingresso e uscita. In un quadrilatero varia con la configurazione (non è costante come negli ingranaggi): è la causa del moto non uniforme del bilanciere.
6. Meccanismo sovravincolato
Esercizio. Cosa indica una mobilità M\le0 calcolata con Grübler?
- M=0: il sistema è una struttura isostatica (rigida, non un meccanismo): nessun moto possibile;
- M<0: sistema iperstatico (sovravincolato), con vincoli ridondanti.
La formula di Grübler è necessaria ma non sufficiente: configurazioni geometriche particolari (vincoli paralleli o coincidenti) possono dare mobilità reale diversa da quella calcolata. Va sempre affiancata dall’analisi geometrica.
7. Criterio di Grashof per un quadrilatero
Esercizio. Un quadrilatero articolato ha lunghezze 30, 70, 80, 90\ \text{mm}. Verificare se soddisfa il criterio di Grashof.
Indichiamo con s il lato più corto, con l il più lungo e con p,q gli altri due:
Il criterio di Grashof per avere almeno un membro capace di compiere una rotazione completa è:
Sostituendo:
Il quadrilatero è di Grashof. La classificazione finale dipende da quale lato è fissato: se si fissa il lato più corto si ottiene un doppio manovellismo; se si fissa un lato adiacente al più corto si ottiene un manovella-bilanciere.
8. Corsa e velocità del pistone in un manovellismo
Esercizio. Un manovellismo biella-manovella ha raggio di manovella r=40\ \text{mm} e biella l=160\ \text{mm}. Calcolare la corsa del pistone. Alla posizione \theta=90^\circ, con \omega=100\ \text{rad/s}, calcolare la velocità istantanea del pistone.
La corsa è il doppio del raggio di manovella:
La posizione del pistone rispetto al centro di rotazione può essere scritta come:
Derivando rispetto al tempo:
Per \theta=90^\circ, \sin\theta=1 e \cos\theta=0:
Il segno indica il verso del moto. La biella finita rende la velocità non sinusoidale in generale; in questa posizione il secondo termine si annulla.
9. Vantaggio meccanico vicino al punto morto
Esercizio. Spiegare perché un manovellismo vicino al punto morto può trasmettere grandi forze al pistone ma è sfavorevole per avviare il moto.
Vicino al punto morto la linea biella-manovella è quasi allineata con la direzione del pistone. Una piccola rotazione della manovella produce uno spostamento molto piccolo del cursore: il rapporto di velocità del pistone tende a zero.
Per conservazione della potenza ideale:
Se v è molto piccolo rispetto a \omega, la forza F può diventare molto grande a parità di coppia. Questo è utile in presse e meccanismi a ginocchiera, ma rende critico l’avviamento: esattamente al punto morto il meccanismo non sceglie spontaneamente il verso di moto.
Errori comuni
- Usare la formula spaziale nel piano. Nel piano M=3(n-1)-2C_1-C_2; nello spazio il coefficiente è 6. Mescolarle dà mobilità sbagliata.
- Contare male il telaio. Il termine (n-1) esclude il telaio fisso: dimenticarlo aggiunge 3 gradi di libertà fantasma.
- Trattare \tau come costante in un quadrilatero. Il rapporto di trasmissione di un quadrilatero varia con la posizione; è costante solo negli ingranaggi.
- Fidarsi solo di Grübler. La formula può ingannare in configurazioni geometriche speciali: verificare sempre la mobilità reale.
- Confondere mobilità e rotabilità. M=1 dice che c’è un solo ingresso, non che un membro possa ruotare completamente: per questo serve anche Grashof.
- Trascurare i punti morti. Nei manovellismi sono posizioni cinematicamente singolari, decisive per avviamento e forze trasmesse.