Fattoriale — ingegnerismo.it

Il fattoriale di un intero naturale $n$ , indicato con $n!$ , è il prodotto di tutti gli interi positivi da $1$ a $n$ :

n!=1\cdot2\cdot3\cdots n.

In forma compatta:

n!=\prod_{k=1}^{n}k.

È una delle grandezze fondamentali del calcolo combinatorio: conta ordinamenti, compare nei coefficienti binomiali, normalizza molte formule di probabilità discreta e descrive la crescita di sequenze molto rapide.

Il caso zero

Per convenzione:

0!=1.

Questa scelta non è arbitraria. Il prodotto che non contiene fattori, detto prodotto vuoto, vale $1$ perché $1$ è l’elemento neutro della moltiplicazione. Inoltre la ricorrenza del fattoriale:

n!=n(n-1)!

deve restare valida anche per $n=1$ :

1!=1\cdot0!,

quindi necessariamente $0!=1$ . La stessa convenzione rende coerenti formule come $\binom{n}{0}=1$ e lo sviluppo di Taylor.

Ricorrenza e calcolo

Il fattoriale può essere calcolato progressivamente:

1!=1,\qquad 2!=2\cdot1,\qquad 3!=3\cdot2\cdot1.

Per esempio:

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.

La relazione ricorsiva:

n!=n(n-1)!

è spesso più importante della definizione esplicita, perché permette dimostrazioni per induzione e semplificazioni algebriche. Per esempio:

\dfrac{n!}{(n-2)!} = n(n-1).

Questo tipo di cancellazione è frequente in combinatoria e probabilità.

Permutazioni

Il significato combinatorio più diretto è il conteggio delle permutazioni. Se si hanno $n$ oggetti distinti e si vogliono ordinare tutti, le scelte sono:

n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1=n!.

Il primo posto può essere occupato in $n$ modi, il secondo in $n-1$ modi, e così via fino all’ultimo. Per $4$ oggetti distinti, quindi, gli ordinamenti possibili sono:

4!=24.

Se alcuni oggetti sono indistinguibili, il fattoriale va corretto dividendo per i fattoriali delle ripetizioni. Se ci sono $n_1,n_2,\ldots,n_r$ oggetti uguali per tipo, con somma totale $n$ , il numero di ordinamenti distinti è:

\dfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}.

Combinazioni e coefficienti binomiali

Il fattoriale entra nel coefficiente binomiale:

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.

Questa formula conta le combinazioni di $k$ oggetti scelti tra $n$ , quando l’ordine non conta. Il denominatore elimina gli ordinamenti interni dei $k$ oggetti scelti e degli $n-k$ non scelti.

Una forma spesso più stabile nei calcoli manuali è:

\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.

Questa lettura evita di calcolare fattoriali enormi quando molti fattori si cancellano. È anche il modo più chiaro per distinguere combinazioni, disposizioni e permutazioni.

Serie di Taylor

Il fattoriale compare nei coefficienti delle serie di Taylor perché derivare ripetutamente una potenza produce prodotti decrescenti. Lo sviluppo di una funzione sufficientemente regolare attorno a $x_0$ si scrive:

f(x)= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k,

quando la serie converge alla funzione. Il termine $k!$ compensa il fatto che la $k$ -esima derivata di $(x-x_0)^k$ vale proprio $k!$ nel punto $x_0$ .

Esempi classici sono:

e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!}, \qquad \sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Per questo il fattoriale non appartiene solo alla combinatoria: è anche un oggetto naturale dell’analisi.

Estensione con la funzione gamma

Il fattoriale è definito direttamente sugli interi non negativi. La funzione gamma lo estende a valori reali e complessi:

\Gamma(n+1)=n!, \qquad n\in\mathbb{N}_0.

Attenzione allo spostamento dell’indice: per un intero positivo $n$ vale anche:

\Gamma(n)=(n-1)!.

Questa estensione è essenziale in analisi, probabilità e statistica, dove compaiono parametri non interi: distribuzione gamma, beta, chi-quadro, integrali impropri e coefficienti generalizzati.

Crescita e approssimazioni

Il fattoriale cresce molto rapidamente. Per ogni base fissata $a>0$ , il confronto asintotico è:

a^n\ll n!,

mentre, rispetto a $n^n$ , vale:

n!\ll n^n.

Una stima quantitativa è data dalla formula di Stirling:

n!\sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n.

Nei calcoli numerici, il problema non è solo teorico: $n!$ supera presto i limiti delle rappresentazioni intere o floating point. Per questo si lavora spesso con il logaritmo:

\log(n!) = \sum_{k=1}^{n}\log k.

Per grandi valori o parametri non interi si usa la log-gamma, cioè $\log\Gamma(x)$ , che evita overflow e rende trattabili verosimiglianze, coefficienti combinatori e distribuzioni statistiche.

Errori comuni

Il primo errore è dimenticare che $0!=1$ . Il secondo è usare $n!$ per valori non interi senza passare alla funzione gamma: scrivere $(2{,}5)!$ non ha significato nella definizione elementare, mentre $\Gamma(3{,}5)$ sì.

Il terzo errore è confondere permutazioni e combinazioni. Il fattoriale puro conta ordinamenti di tutti gli oggetti; se l’ordine non conta o se si scelgono solo alcuni elementi, servono coefficienti binomiali o altre formule combinatorie. Il quarto errore è calcolare fattoriali enormi prima di semplificare: in molte espressioni conviene cancellare simbolicamente o lavorare in logaritmi.

Vedi anche: calcolo combinatorio, permutazioni, combinazioni, coefficiente binomiale, funzione gamma, log-gamma e formula di Stirling.