Il coefficiente binomiale \binom{n}{k} (si legge ”n su k”) è un numero intero non negativo definito per due interi n \geq k \geq 0 dalla formula: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Rappresenta il numero di Combinazioni semplici di n oggetti di classe k.
Proprietà Fondamentali
- Simmetria: \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. Scegliere k oggetti da tenere equivale a scegliere n-k oggetti da escludere.
- Formula di Ricorrenza (Stifel): \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}. Questa proprietà permette la costruzione del Triangolo di Tartaglia.
- Valori Notevoli: \binom{n}{0} = 1, \binom{n}{n} = 1, \binom{n}{1} = n.
- Somma delle righe: \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.
Significato Ingegneristico
- Distribuzione Binomiale: È il parametro cardine della distribuzione di probabilità binomiale, usata per modellare il numero di successi in n prove indipendenti (es. numero di pacchetti dati persi in una trasmissione su n totali).
- Teoria dei Codici: Nella definizione della distanza di Hamming e nella capacità di correzione degli errori (codici lineari), i coefficienti binomiali determinano il numero di possibili pattern di errore di peso k.
- Calcolo Strutturale: Appare nei polinomi di Bernstein usati per definire le curve di Bézier, fondamentali nel CAD (Computer-Aided Design) per la modellazione di superfici aeronautiche e automobilistiche.
Vedi anche: Combinazioni, Triangolo di Tartaglia, Binomio di Newton.