Affinità

Un’affinità (o trasformazione affine) è una trasformazione invertibile che manda rette in rette, preserva il parallelismo e il rapporto in cui un punto divide un segmento. Generalizza le isometrie e le omotetie, ma non conserva necessariamente le distanze o gli angoli.

Vedi anche: Isometria, Trasformazioni del Piano, Applicazione Lineare.

Definizione

Un’affinità di $\mathbb{R}^n$ è una trasformazione della forma:

$f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{t}$

con $A \in M_n(\mathbb{R})$ invertibile ($\det A \neq 0$) e $\vec{t} \in \mathbb{R}^n$ vettore di traslazione.

La parte lineare $A$ determina la «deformazione»; $\vec{t}$ la traslazione. Le affinità formano un gruppo: $\mathrm{Aff}(n)$.

Invarianti Affini

Le affinità preservano:

• Parallelismo: rette parallele restano parallele.
• Rapporto di divisione: se $P$ divide $AB$ nel rapporto $\lambda$, anche $f(P)$ divide $f(A)f(B)$ nello stesso rapporto.
• Baricentro: il baricentro di un insieme di punti va nel baricentro delle immagini.
• Rettilineità: i punti allineati restano allineati.

Non sono invarianti affini: distanze, angoli, aree (in generale), cerchi (che diventano ellissi).

Classificazione nel Piano

Nel piano ($n = 2$), ogni affinità si classifica in base a $\det A$ e alla struttura della parte lineare:

Tipo	Proprietà
Isometria	$A$ ortogonale ($AA^T = I$)
Omotetia	$A = kI$ con $k \neq 0$
Similitudine	$A = k \cdot Q_{rot}$ (scala + rotazione)
Affinità generale	$A$ qualsiasi invertibile

Casi notevoli: compressione (fattori di scala diversi lungo assi ortogonali), taglio (shear), riflessione non ortogonale.

Rappresentazione in Coordinate Omogenee

In coordinate omogenee, un’affinità è una matrice $(n+1) \times (n+1)$:

$\begin{pmatrix} A & \vec{t} \\ \vec{0}^T & 1 \end{pmatrix}$

invertibile. Questo permette di trattare uniformemente trasformazioni lineari e traslazioni. La composizione di affinità diventa prodotto di matrici. Vedi: Geometria Proiettiva.

Esempio numerico

Consideriamo l’affinità del piano $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ con:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{t} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

Il quadrato di vertici $O=(0,0)$, $P=(1,0)$, $Q=(1,1)$, $R=(0,1)$ viene trasformato in:

$f(O) = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}, \quad f(P) = \begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}, \quad f(Q) = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}, \quad f(R) = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$

Il risultato è un parallelogramma (il parallelismo è preservato: lati orizzontali rimangono paralleli tra loro, lati diagonali idem). Le lunghezze e gli angoli cambiano ($A$ ha $\det A = 2 \neq 1$, quindi l’area è raddoppiata), ma la struttura affine è conservata: il baricentro del quadrato $B = (0.5, 0.5)$ va nel baricentro del parallelogramma $f(B) = A(0.5,0.5)^T + \vec{t} = (4.5, -0.5)^T$.

Relazione con la Geometria Proiettiva

Le affinità sono le trasformazioni proiettive che fissano il piano all’infinito (in geometria proiettiva). La geometria affine studia le proprietà invarianti per affinità; la geometria euclidea aggiunge la struttura metrica. Vedi: Omografia.

Applicazioni ingegneristiche

• Grafica computazionale: le pipeline di rendering 3D usano matrici affini per modellazione, vista e proiezione; i motori grafici (OpenGL, Vulkan) operano in coordinate omogenee $4 \times 4$.
• Visione artificiale: l’omografia tra due immagini è un’affinità nel caso di scena planare o telecamera con rotazione pura.
• Analisi delle immagini mediche: la registrazione affine di immagini MRI/CT allinea volumi 3D compensando traslazione, rotazione, scala e taglio.
• CAD: le deformazioni parametriche di solidi (scala non uniforme, taglio) sono affinità; la mappa da coordinate parametriche a coordinate spaziali è affine per elementi finiti isoparametrici.