Un’affinità (o trasformazione affine) è una trasformazione invertibile che manda rette in rette, preserva il parallelismo e il rapporto in cui un punto divide un segmento. Generalizza le isometrie e le omotetie, ma non conserva necessariamente le distanze o gli angoli.
Vedi anche: Isometria, Trasformazioni del Piano, Applicazione Lineare.
Definizione
Un’affinità di \mathbb{R}^n è una trasformazione della forma:
f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{t}
con A \in M_n(\mathbb{R}) invertibile (\det A \neq 0) e \vec{t} \in \mathbb{R}^n vettore di traslazione.
La parte lineare A determina la «deformazione»; \vec{t} la traslazione. Le affinità formano un gruppo: \mathrm{Aff}(n).
Invarianti Affini
Le affinità preservano:
- Parallelismo: rette parallele restano parallele.
- Rapporto di divisione: se P divide AB nel rapporto \lambda, anche f(P) divide f(A)f(B) nello stesso rapporto.
- Baricentro: il baricentro di un insieme di punti va nel baricentro delle immagini.
- Rettilineità: i punti allineati restano allineati.
Non sono invarianti affini: distanze, angoli, aree (in generale), cerchi (che diventano ellissi).
Classificazione nel Piano
Nel piano (n = 2), ogni affinità si classifica in base a \det A e alla struttura della parte lineare:
| Tipo | Proprietà |
|---|---|
| Isometria | A ortogonale (AA^T = I) |
| Omotetia | A = kI con k \neq 0 |
| Similitudine | A = k \cdot Q_{rot} (scala + rotazione) |
| Affinità generale | A qualsiasi invertibile |
Casi notevoli: compressione (fattori di scala diversi lungo assi ortogonali), taglio (shear), riflessione non ortogonale.
Rappresentazione in Coordinate Omogenee
In coordinate omogenee, un’affinità è una matrice (n+1) \times (n+1):
\begin{pmatrix} A & \vec{t} \\ \vec{0}^T & 1 \end{pmatrix}
invertibile. Questo permette di trattare uniformemente trasformazioni lineari e traslazioni. La composizione di affinità diventa prodotto di matrici. Vedi: Geometria Proiettiva.
Esempio numerico
Consideriamo l’affinità del piano f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 con:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{t} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}
Il quadrato di vertici O=(0,0), P=(1,0), Q=(1,1), R=(0,1) viene trasformato in:
f(O) = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}, \quad f(P) = \begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}, \quad f(Q) = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}, \quad f(R) = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}
Il risultato è un parallelogramma (il parallelismo è preservato: lati orizzontali rimangono paralleli tra loro, lati diagonali idem). Le lunghezze e gli angoli cambiano (A ha \det A = 2 \neq 1, quindi l’area è raddoppiata), ma la struttura affine è conservata: il baricentro del quadrato B = (0.5, 0.5) va nel baricentro del parallelogramma f(B) = A(0.5,0.5)^T + \vec{t} = (4.5, -0.5)^T.
Relazione con la Geometria Proiettiva
Le affinità sono le trasformazioni proiettive che fissano il piano all’infinito (in geometria proiettiva). La geometria affine studia le proprietà invarianti per affinità; la geometria euclidea aggiunge la struttura metrica. Vedi: Omografia.
Applicazioni ingegneristiche
- Grafica computazionale: le pipeline di rendering 3D usano matrici affini per modellazione, vista e proiezione; i motori grafici (OpenGL, Vulkan) operano in coordinate omogenee 4 \times 4.
- Visione artificiale: l’omografia tra due immagini è un’affinità nel caso di scena planare o telecamera con rotazione pura.
- Analisi delle immagini mediche: la registrazione affine di immagini MRI/CT allinea volumi 3D compensando traslazione, rotazione, scala e taglio.
- CAD: le deformazioni parametriche di solidi (scala non uniforme, taglio) sono affinità; la mappa da coordinate parametriche a coordinate spaziali è affine per elementi finiti isoparametrici.