Una trasformazione del piano è un’applicazione f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 (o da \Pi in sé, dove \Pi è il piano euclideo). Le trasformazioni si classificano in base alle proprietà geometriche che conservano.
Traslazioni
Una traslazione di vettore \vec{t} = (t_1, t_2) è la mappa:
T_{\vec{t}}: (x, y) \mapsto (x + t_1,\; y + t_2)
Le traslazioni conservano distanze, angoli, aree e orientazione. Non hanno punti fissi (a meno che \vec{t} = \vec{0}). L’insieme di tutte le traslazioni forma un gruppo abeliano rispetto alla composizione.
In coordinate omogenee (utile per la composizione con rotazioni e altre trasformazioni):
\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & t_1\\0 & 1 & t_2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
Rotazioni
Una rotazione di angolo \theta attorno all’origine è la mappa lineare:
R_\theta: (x, y) \mapsto (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta)
La matrice di rotazione è:
R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
con \det(R_\theta) = 1 e R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta^T. Le matrici di rotazione formano il gruppo SO(2).
La rotazione di angolo \theta attorno a un punto P = (a, b) si ottiene componendo: traslazione di -\vec{P}, rotazione di \theta attorno all’origine, traslazione di +\vec{P}.
Riflessioni rispetto a rette
La riflessione rispetto alla retta passante per l’origine di direzione \theta (angolo con l’asse x) ha matrice:
S_\theta = \begin{pmatrix}\cos 2\theta & \sin 2\theta\\\sin 2\theta & -\cos 2\theta\end{pmatrix}
con \det(S_\theta) = -1, che segnala l’inversione di orientazione. La composizione di due riflessioni rispetto a rette che si intersecano nell’angolo \alpha produce una rotazione di 2\alpha.
Riflessioni notevoli: asse x → (x,y)\mapsto(x,-y); asse y → (x,y)\mapsto(-x,y); bisettrice y=x → (x,y)\mapsto(y,x).
Omotetie e similitudini
Un’omotetia di centro O e rapporto k \in \mathbb{R}\setminus\{0\} è la mappa (x,y) \mapsto (kx, ky). Conserva le direzioni ma scala le distanze del fattore |k|.
Una similitudine è una composizione di un’omotetia con un’isometria (traslazione, rotazione o riflessione). Le similitudini conservano gli angoli e portano figure simili in figure simili. Una similitudine diretta (con orientazione conservata) ha la forma:
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = k\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}
Affinità del piano
Un’affinità (o trasformazione affine) è una mappa f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{t} con A \in GL(2,\mathbb{R}) (matrice 2\times 2 invertibile) e \vec{t} \in \mathbb{R}^2. Le affinità conservano:
- Il parallelismo tra rette
- I rapporti di divisione su una retta
- Le aree (fino al fattore |\det A|)
Non conservano necessariamente lunghezze né angoli. In coordinate omogenee si rappresentano con una matrice 3 \times 3 invertibile.
Le affinità del piano formano il gruppo affine \mathrm{Aff}(2). Casi particolari: traslazioni, rotazioni, riflessioni, omotetie, transvettori (shear), dilatazioni assiali.
Isometrie del piano e classificazione
Un’isometria è una trasformazione che conserva la distanza euclidea: d(f(P), f(Q)) = d(P, Q) per ogni coppia di punti P, Q.
| Tipo | Invarianti | Orientazione | Punti fissi |
|---|---|---|---|
| Traslazione (non banale) | distanze, angoli | conservata | nessuno |
| Rotazione (non banale) | distanze, angoli | conservata | il centro |
| Riflessione | distanze, angoli | invertita | la retta asse |
| Riflessione con scorrimento (glide reflection) | distanze, angoli | invertita | nessuno |
Il teorema di classificazione delle isometrie del piano afferma che queste sono esattamente i quattro tipi elencati. Le isometrie dirette (che conservano l’orientazione) formano un sottogruppo: sono le traslazioni e le rotazioni.
Applicazioni ingegneristiche
- Grafica 2D e CAD: le trasformazioni affini sono la base di qualsiasi pipeline di rendering 2D; traslazioni, rotazioni e scale si compongono moltiplicando le matrici 3 \times 3 in coordinate omogenee.
- Robotica planare: la cinematica di un robot piano è descritta da sequenze di traslazioni e rotazioni nello spazio di configurazione.
- Cristallografia: la classificazione delle simmetrie dei cristalli bidimensionali si basa sulle isometrie del piano (gruppi wallpaper).
- Analisi delle immagini: le trasformazioni affini modellano le distorsioni di prospettiva e vengono usate per la correzione e la registrazione di immagini.