Un’omografia (o proiettività) è un isomorfismo tra spazi proiettivi: una biiezione che manda rette in rette e preserva la struttura proiettiva (incidenza e birapporto). È la trasformazione fondamentale della geometria proiettiva.
Vedi anche: Geometria Proiettiva, Birapporto, Affinità.
Definizione
Un’omografia f: \mathbb{P}^n(K) \to \mathbb{P}^n(K) è indotta da una matrice invertibile A \in GL(n+1, K):
f([x_0 : x_1 : \cdots : x_n]) = [A\mathbf{x}]
Due matrici A e \lambda A (\lambda \neq 0) inducono la stessa omografia. Il gruppo delle omografie è quindi:
PGL(n, K) = GL(n+1, K) / K^*
Proprietà
- Ogni omografia di \mathbb{P}^n è determinata dall’immagine di n+2 punti in posizione generale (nessun sottoinsieme di n+1 è contenuto in un iperpiano).
- Nel piano (n = 2): un’omografia è determinata da 4 punti in posizione generale (nessun 3 allineati) e le loro immagini.
- Un’omografia conserva il birapporto (vedi: Birapporto) e l’incidenza (punti su una retta restano su una retta).
Punti Uniti
Un punto unito di un’omografia f è un punto fisso: f(P) = P. Per il teorema di Lefschetz (e per il teorema fondamentale dell’algebra), un’omografia di \mathbb{P}^n ha almeno un punto unito su \mathbb{C} (corrisponde agli autovettori di A).
Prospettività
Una perspettività (o prospettività) è l’omografia più elementare: la proiezione di una retta su un’altra a partire da un punto (centro di perspettività). Due figure prospettive a partire da un centro sono in relazione di prospettività.
Una proiettività è sempre composizione di un numero finito di prospettività.
Teorema di Desargues
Enunciato: due triangoli sono in perspettività centrale (le rette che uniscono vertici corrispondenti sono concorrenti) se e solo se sono in perspettività assiale (i punti di intersezione dei lati corrispondenti sono collineari).
Il teorema di Desargues è vero in \mathbb{P}^n per n \geq 3 e in \mathbb{P}^2 se il piano è coordinabile su un campo (è un assioma nei piani proiettivi non coordinabili).
Teorema di Pappo
Enunciato: se A, B, C sono tre punti su una retta e A', B', C' su un’altra, le intersezioni AB' \cap A'B, AC' \cap A'C, BC' \cap B'C sono collineari.
Il teorema di Pappo equivale alla commutatività del campo scalare: vale in \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) e \mathbb{P}^2(\mathbb{C}), non in piani su corpi non commutativi.
Applicazioni ingegneristiche
- Visione artificiale: l’omografia tra due immagini di una scena planare si stima con l’algoritmo DLT (Direct Linear Transform) da 4 corrispondenze di punti; è la base della rettifica di immagini e della stima della posa.
- Fotogrammetria e mosaicing: l’allineamento di immagini panoramiche usa omografie per compensare la rotazione pura della telecamera.
- Proiezione su superfici (video mapping): le omografie calibrate permettono di proiettare immagini distorte su superfici piane o poligonali in modo da apparire corrette al punto di vista del pubblico.