Un sistema di riferimento non inerziale è un riferimento che trasla con accelerazione, ruota, oppure combina traslazione accelerata e rotazione rispetto a un sistema inerziale. In un riferimento di questo tipo un corpo isolato può apparire accelerato anche quando non subisce forze reali. Per continuare a usare una forma newtoniana delle equazioni si introducono termini aggiuntivi chiamati forze apparenti o forze d’inerzia.
La parola “apparente” non significa che l’effetto osservato sia finto. Significa che il termine non nasce da una nuova interazione fisica tra due corpi, ma dalla scelta del riferimento. Un passeggero in un’auto che frena sente una spinta in avanti; nel riferimento dell’auto questa spinta viene descritta con una forza apparente, mentre nel riferimento della strada è l’inerzia del corpo a spiegare il moto relativo.
Inerziale e non inerziale
In un sistema inerziale, la seconda legge di Newton per una massa costante si scrive
Le forze nel primo membro sono interazioni fisiche: gravità, tensione, attrito, reazioni vincolari, forza elastica, forza elettromagnetica e così via. In un riferimento non inerziale, invece, l’accelerazione misurata dall’osservatore non coincide con quella che comparirebbe nel riferimento inerziale. Per questo, se si vuole scrivere
bisogna aggiungere alle forze reali anche termini apparenti dipendenti dal moto del riferimento.
La scelta del riferimento è quindi una scelta di modellazione. Un riferimento non inerziale può rendere più semplice la geometria del problema, per esempio perché un corpo risulta fermo rispetto a una piattaforma rotante o a un veicolo, ma richiede di introdurre forze d’inerzia coerenti.
Riferimento traslante accelerato
Il caso più semplice è un riferimento S' che trasla con accelerazione \mathbf A(t) rispetto a un riferimento inerziale S, senza ruotare. Se \mathbf a' è l’accelerazione misurata in S', allora
La seconda legge nel riferimento accelerato diventa
Il termine
è la forza apparente di trascinamento. In un ascensore che accelera verso l’alto con accelerazione A, un corpo sembra più pesante; nel riferimento dell’ascensore si può descrivere l’effetto introducendo una forza apparente verso il basso di modulo mA. Se l’ascensore accelera verso il basso, l’effetto apparente è opposto e il peso percepito diminuisce.
Riferimento rotante
Questa è la forma operativa per un riferimento con origine accelerata e assi rotanti. Qui:
- \mathbf a' è l’accelerazione misurata nel riferimento non inerziale;
- \mathbf a_{tr} è l’accelerazione traslazionale dell’origine del riferimento;
- \boldsymbol\omega è la velocità angolare degli assi;
- \dot{\boldsymbol\omega} è l’accelerazione angolare;
- \mathbf r' e \mathbf v' sono posizione e velocità relative misurate nel riferimento rotante.
I termini aggiuntivi sono, rispettivamente, forza di trascinamento traslazionale, forza di Eulero, forza centrifuga e forza di Coriolis. Non hanno una reazione fisica applicata a un altro corpo: dipendono dalla scelta del riferimento.
| Termine apparente | Espressione | Quando compare |
|---|---|---|
| Trascinamento traslazionale | -m\mathbf{a}_{tr} | Il riferimento trasla con accelerazione non nulla. |
| Forza di Eulero | -m\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\mathbf{r}' | La velocità angolare del riferimento varia nel tempo. |
| Forza centrifuga | -m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}') | Il riferimento ruota e il punto è a distanza dall’asse. |
| Forza di Coriolis | -2m\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}' | Il punto si muove rispetto al riferimento rotante. |
La forza centrifuga è presente anche se il corpo è fermo nel riferimento rotante, purché sia a distanza dall’asse. La forza di Coriolis, invece, richiede velocità relativa \mathbf v'\ne\mathbf0. La forza di Eulero compare solo quando la velocità angolare del riferimento cambia nel tempo, come in una piattaforma che sta accelerando o frenando la rotazione.
Esempi elementari
In un’automobile che frena, un oggetto libero tende a proseguire in avanti rispetto all’abitacolo. Nel riferimento dell’auto si introduce una forza apparente in avanti; nel riferimento della strada, invece, l’oggetto conserva inizialmente la propria velocità mentre l’auto rallenta.
In una giostra o piattaforma rotante, un oggetto fermo rispetto alla piattaforma è soggetto, nel riferimento rotante, a una forza centrifuga verso l’esterno. Se l’oggetto si muove sulla piattaforma, compare anche la forza di Coriolis, perpendicolare alla velocità relativa.
In un ascensore accelerato, il peso apparente cambia. Se l’ascensore accelera verso l’alto, la reazione del pavimento aumenta; se accelera verso il basso, diminuisce. In caduta libera ideale, il riferimento dell’ascensore è fortemente non inerziale e gli oggetti appaiono in assenza di peso.
La Terra come riferimento
Un laboratorio solidale con la superficie terrestre viene spesso trattato come inerziale. Per esperimenti brevi e dimensioni piccole l’approssimazione è ottima. Tuttavia la Terra ruota, quindi il riferimento terrestre è in realtà debolmente non inerziale.
Gli effetti diventano rilevanti in:
- meteorologia e oceanografia, dove la forza di Coriolis organizza venti e correnti;
- balistica a lunga distanza;
- geodesia e misure ad alta precisione;
- navigazione inerziale;
- fluidi in rotazione e statica relativa;
- traiettorie aerospaziali e orbitali.
In questi problemi ignorare la rotazione terrestre può introdurre errori sistematici. In un esercizio locale su un blocco, una molla o un piano inclinato, invece, tali effetti sono normalmente trascurabili.
Procedura negli esercizi
Il modo più sicuro di usare un riferimento non inerziale è:
- dichiarare esplicitamente il riferimento scelto;
- stabilire se trasla, ruota o fa entrambe le cose;
- disegnare le sole forze reali;
- aggiungere le forze apparenti richieste dal riferimento;
- scrivere l’equazione del moto nel riferimento scelto;
- non mescolare diagrammi di corpo libero costruiti in riferimenti diversi.
Il vantaggio è che molte situazioni diventano problemi di equilibrio relativo. Un corpo fermo in una piattaforma rotante può essere studiato imponendo
anche se, rispetto a un osservatore inerziale, quel corpo sta accelerando perché segue una traiettoria circolare.
Uso ingegneristico
I riferimenti non inerziali sono strumenti pratici, non solo concetti teorici. Nelle macchine rotanti permettono di descrivere carichi su giranti, volani, turbine, centrifughe, rotori e sistemi equilibrati. In fluidodinamica rotante spiegano superfici libere paraboliche, gradienti di pressione radiali e moti geofisici. In aerospazio e navigazione servono per passare tra riferimenti solidali al veicolo, alla Terra, all’orbita o a un corpo celeste.
Nei veicoli, un riferimento solidale al mezzo rende immediata l’analisi del comfort e delle accelerazioni percepite dagli occupanti. In robotica e meccanismi, riferimenti solidali a membri mobili possono semplificare la cinematica, purché i termini di accelerazione relativa, trascinamento e Coriolis siano trattati correttamente.
Errori comuni
Gli errori più frequenti sono:
- introdurre forze apparenti in un riferimento già inerziale;
- dimenticare le forze apparenti quando si lavora in un riferimento accelerato o rotante;
- disegnare forza centripeta e forza centrifuga come se fossero due forze reali opposte nello stesso riferimento;
- dimenticare che la forza di Coriolis compare solo se c’è velocità relativa nel riferimento rotante;
- trascurare la forza di Eulero quando la velocità angolare cambia;
- usare giri al minuto al posto di radianti al secondo nelle formule con \omega;
- trattare la Terra come perfettamente inerziale in problemi in cui rotazione e scala geografica sono importanti.
La regola centrale è non mischiare punti di vista. In un riferimento inerziale si usano forze reali e accelerazioni reali; in un riferimento non inerziale si possono usare equazioni simili a quelle newtoniane, ma solo aggiungendo tutti i termini apparenti coerenti con il moto del riferimento.
Vedi anche: sistema inerziale, meccanica classica, forza d’inerzia, forza centrifuga, forza di Coriolis e leggi di Newton.