Un sistema inerziale è un sistema di riferimento nel quale un punto materiale isolato, cioè non soggetto a risultante di forze, conserva il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. È il riferimento in cui le leggi di Newton assumono la forma standard, senza introdurre termini apparenti dovuti al moto dell’osservatore.
In forma operativa, se la risultante delle forze reali è nulla, l’accelerazione è nulla e la velocità resta costante:
Questa definizione è più precisa della formula “un sistema fermo”. Un riferimento può muoversi rispetto a un altro e restare inerziale, purché il moto relativo sia rettilineo uniforme. Viceversa, un riferimento solidale con un oggetto apparentemente fermo può essere non inerziale se quell’oggetto accelera o ruota.
Definizione fisica
Un sistema di riferimento non è solo un punto di vista generico: comprende un’origine, assi orientati, una regola di misura delle posizioni e un tempo comune per descrivere il moto. Dire che un sistema è inerziale significa affermare che, in quel riferimento, un corpo isolato non accelera spontaneamente.
La seconda legge di Newton, per un punto materiale di massa costante, si scrive allora:
Qui \mathbf{a} è l’accelerazione misurata nel sistema inerziale. Se la stessa accelerazione viene misurata da un riferimento che accelera o ruota, la formula non può essere usata nella stessa forma senza aggiungere termini correttivi.
Il sistema inerziale è quindi un’idealizzazione operativa. Non è necessario individuare un riferimento assoluto dell’universo: basta scegliere un riferimento rispetto al quale gli effetti non inerziali siano assenti o trascurabili alla scala del problema.
Trasformazioni galileiane
Se un sistema S è inerziale, allora anche un sistema S' che si muove rispetto a S con velocità costante è inerziale. Nel caso di assi paralleli e moto relativo lungo una direzione generica, la trasformazione galileiana può essere scritta come:
con:
Derivando rispetto al tempo si ottiene:
e poi:
La grandezza essenziale è l’accelerazione: se il moto relativo tra i due riferimenti è uniforme, l’accelerazione dei corpi è la stessa nei due sistemi. Perciò la legge \mathbf{F}_{\mathrm{tot}}=m\mathbf{a} conserva la propria forma. Questa proprietà è alla base della relatività galileiana della meccanica classica.
Sistemi non inerziali
Un sistema diventa non inerziale quando trasla con accelerazione non nulla, ruota, oppure combina traslazione accelerata e rotazione. In questi casi un corpo isolato può apparire accelerato anche se non subisce forze reali.
Per un riferimento che trasla con accelerazione \mathbf{A}(t) rispetto a un sistema inerziale, la relazione tra accelerazioni è:
La seconda legge diventa allora:
Il termine -m\mathbf{A} non rappresenta una nuova interazione fisica: è una forza apparente introdotta per usare le equazioni di Newton nel riferimento accelerato. Nei riferimenti rotanti compaiono altri termini apparenti, come forza centrifuga, forza di Eulero e forza di Coriolis. La trattazione sistematica appartiene ai sistemi di riferimento non inerziali.
Approssimazione terrestre
Negli esercizi elementari e in molti problemi ingegneristici locali, un riferimento solidale con la superficie terrestre viene trattato come inerziale. Questa scelta funziona bene quando le scale spaziali sono piccole, i tempi di osservazione sono brevi e la precisione richiesta non rende visibili gli effetti della rotazione terrestre.
L’approssimazione però non è esatta. La Terra ruota, quindi un laboratorio solidale con il suolo è un riferimento debolmente non inerziale. Gli effetti principali sono:
- accelerazione centrifuga associata alla rotazione terrestre;
- deviazione di Coriolis per corpi in moto rispetto alla superficie;
- dipendenza dell’accelerazione di gravità efficace dalla latitudine;
- effetti misurabili su lunghe traiettorie, lunghi tempi o grande precisione strumentale.
In meteorologia, oceanografia, balistica a lunga gittata, geodesia e navigazione inerziale, trattare la Terra come perfettamente inerziale porta a errori misurabili. In un esercizio su un blocco su piano inclinato, invece, la stessa approssimazione è normalmente più che sufficiente.
Esempi di scelta del riferimento
Un laboratorio fermo rispetto al suolo può essere assunto inerziale per un esperimento breve di dinamica elementare. Un treno che si muove in linea retta a velocità costante rispetto al suolo è, con la stessa approssimazione, un altro riferimento inerziale: le leggi della meccanica hanno la stessa forma per un osservatore a bordo.
Un’automobile che frena, un ascensore che accelera, una piattaforma rotante o una giostra non sono invece riferimenti inerziali. Un passeggero può percepire una spinta apparente in avanti durante una frenata o verso l’esterno durante una rotazione; queste sensazioni non richiedono una nuova forza reale applicata dall’esterno, ma derivano dal fatto che il riferimento scelto non è inerziale.
In meccanica orbitale e aerospaziale la scelta è ancora più delicata. Un riferimento centrato su un veicolo può essere comodo per descrivere strumenti e carichi interni, ma se il veicolo accelera, ruota o segue un’orbita curvilinea, le equazioni richiedono termini apparenti o una formulazione più adatta al problema.
Criterio operativo
Per decidere se un sistema può essere trattato come inerziale, conviene porsi tre domande:
- il riferimento ha accelerazione traslazionale significativa rispetto al fenomeno studiato?
- gli assi del riferimento ruotano durante l’osservazione?
- gli effetti non inerziali sono piccoli rispetto alle forze e alle accelerazioni che interessano il modello?
Se le risposte indicano accelerazioni o rotazioni trascurabili, il riferimento può essere usato come inerziale entro la precisione richiesta. Se invece gli effetti sono confrontabili con le grandezze del problema, devono essere modellati esplicitamente.
Questa distinzione è fondamentale nella progettazione: scegliere un riferimento troppo complicato può appesantire inutilmente i calcoli; scegliere un riferimento apparentemente semplice ma non inerziale può produrre equazioni incomplete.
Errori comuni
Il primo errore è identificare “inerziale” con “fermo”. Il riposo non è una proprietà assoluta: dipende dal riferimento scelto. Un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale è ancora inerziale.
Il secondo errore è dimenticare che la Terra è solo approssimativamente inerziale. L’approssimazione è ottima in molti problemi locali, ma non in fenomeni atmosferici, oceanici, balistici o geodetici.
Il terzo errore è introdurre forze apparenti in un sistema già inerziale. Se si lavora in un riferimento inerziale, si devono disegnare solo le forze reali. Le forze d’inerzia servono quando si sceglie deliberatamente un riferimento accelerato o rotante.
Il quarto errore è non dichiarare il riferimento all’inizio del problema. In dinamica, la stessa traiettoria può avere descrizioni diverse in riferimenti diversi; senza una scelta esplicita degli assi e del loro moto, formule e diagrammi di corpo libero diventano ambigui.
Vedi anche: leggi di Newton, sistema di riferimento non inerziale, forza di Coriolis.