Una lente sottile è una lente idealizzata il cui spessore è trascurabile rispetto alle distanze oggetto, immagine e focale. In questa approssimazione i piani principali della lente vengono considerati coincidenti e l’intera azione ottica viene concentrata su un unico piano perpendicolare all’asse ottico.
È uno dei modelli fondamentali dell’ottica geometrica: permette di calcolare posizione, dimensione e orientazione delle immagini prodotte da lenti convergenti e divergenti senza descrivere in dettaglio ogni superficie rifrangente.
1. Ipotesi del modello
La formula della lente sottile vale sotto alcune ipotesi:
- raggi vicini all’asse ottico;
- angoli piccoli, così che \sin\theta\simeq\theta e \tan\theta\simeq\theta;
- spessore della lente trascurabile rispetto a s, s' e f;
- mezzo omogeneo, spesso aria, su entrambi i lati della lente;
- aberrazioni trascurabili;
- superfici centrate sullo stesso asse ottico.
Queste ipotesi sono dette approssimazione parassiale. Se i raggi sono molto inclinati, se l’apertura è grande o se la lente è spessa, il modello resta utile come prima stima ma non basta per un progetto ottico accurato.
2. Formula dei punti coniugati
In aria, per una lente sottile in approssimazione parassiale:
Dove:
| Simbolo | Significato |
|---|---|
| s | distanza dell’oggetto dalla lente |
| s' | distanza dell’immagine dalla lente |
| f | distanza focale della lente |
La formula collega una coppia di punti coniugati: un punto oggetto e il punto immagine in cui convergono, o da cui sembrano provenire, i raggi dopo la rifrazione.
Una convenzione frequente in fisica elementare è:
- s>0 per un oggetto reale davanti alla lente;
- s'>0 per un’immagine reale dietro la lente;
- s'<0 per un’immagine virtuale dallo stesso lato dell’oggetto;
- f>0 per lente convergente;
- f<0 per lente divergente.
Le convenzioni alternative esistono e sono legittime, ma non si possono mescolare nello stesso calcolo.
3. Ingrandimento trasversale
L’ingrandimento trasversale è:
Se |G|>1, l’immagine è ingrandita; se |G|<1, è ridotta. Il segno indica l’orientazione:
| Segno di G | Interpretazione |
|---|---|
| G<0 | immagine capovolta rispetto all’oggetto |
| G>0 | immagine diritta |
Per una lente convergente con oggetto oltre il fuoco, l’immagine reale è in genere capovolta. Se l’oggetto è tra lente e fuoco, l’immagine è virtuale, diritta e ingrandita: è il principio della lente d’ingrandimento.
4. Lente convergente e lente divergente
Una lente convergente ha focale positiva nella convenzione più comune. Raggi paralleli all’asse ottico, dopo la lente, convergono verso il fuoco immagine.
Una lente divergente ha focale negativa. Raggi paralleli all’asse ottico, dopo la lente, divergono come se provenissero da un fuoco virtuale sul lato dell’oggetto.
| Tipo di lente | Segno di f | Effetto su raggi paralleli | Immagini tipiche |
|---|---|---|---|
| Convergente | f>0 | li fa convergere verso il fuoco | reale capovolta se l’oggetto è oltre il fuoco; virtuale diritta se è dentro il fuoco |
| Divergente | f<0 | li fa divergere | virtuale, diritta e ridotta per un oggetto reale |
La classificazione dipende dall’indice relativo tra lente e mezzo esterno. Una lente che è convergente in aria può comportarsi diversamente se immersa in un mezzo con indice di rifrazione vicino o superiore a quello del materiale della lente.
5. Costruzione dei raggi principali
La posizione dell’immagine può essere trovata graficamente usando raggi principali:
- un raggio parallelo all’asse esce passando per il fuoco immagine, o divergendo come se provenisse dal fuoco nel caso di lente divergente;
- un raggio che passa per il centro ottico viene approssimato come non deviato;
- un raggio che passa per il fuoco oggetto esce parallelo all’asse.
L’intersezione dei raggi rifratti dà l’immagine reale. Se i raggi rifratti divergono, l’immagine si trova prolungando all’indietro i raggi: in quel caso è virtuale.
La costruzione grafica non sostituisce la formula, ma aiuta a controllare il segno del risultato. Se il calcolo produce un’immagine virtuale ma il disegno mostra raggi reali convergenti, quasi sempre c’è un errore di convenzione.
6. Potere diottrico
Il potere diottrico è l’inverso della focale espressa in metri:
La sua unità è la diottria, indicata con \mathrm{D}:
Una lente con f=0{,}5\,\mathrm{m} ha:
Una lente divergente con f<0 ha potere negativo. In ottica oftalmica e strumentale il potere diottrico è spesso più pratico della distanza focale, perché i poteri di lenti sottili a contatto si sommano:
Se due lenti sottili sono separate da una distanza d nello stesso mezzo, una correzione parassiale utile è:
con d in metri. Per lenti a contatto, d\simeq0 e si recupera la somma semplice.
7. Formula del fabbricante di lenti
Per una lente sottile in aria, di indice n e raggi di curvatura R_1 e R_2, la formula del fabbricante è:
Se la lente è immersa in un mezzo di indice n_m, bisogna usare l’indice relativo:
Il segno dei raggi di curvatura dipende dalla convenzione geometrica adottata. Per questo la formula va sempre applicata insieme a un disegno dell’asse ottico e dei centri di curvatura.
8. Immagini reali e virtuali
Un’immagine reale si forma quando i raggi emergenti convergono fisicamente in un punto. Può essere raccolta su uno schermo o su un sensore.
Un’immagine virtuale si forma quando i raggi emergenti divergono, ma i loro prolungamenti all’indietro si incontrano. Non può essere raccolta direttamente su uno schermo posto in quel punto, ma può essere osservata dall’occhio o da un altro sistema ottico.
| Caso | Risultato qualitativo |
|---|---|
| Lente convergente, oggetto oltre 2f | immagine reale, capovolta, ridotta |
| Lente convergente, oggetto in 2f | immagine reale, capovolta, uguale |
| Lente convergente, oggetto tra f e 2f | immagine reale, capovolta, ingrandita |
| Lente convergente, oggetto dentro f | immagine virtuale, diritta, ingrandita |
| Lente divergente, oggetto reale | immagine virtuale, diritta, ridotta |
Queste regole sono conseguenze della formula dei punti coniugati e della costruzione dei raggi.
9. Limiti e aberrazioni
La lente sottile è un modello ideale. Nei sistemi reali compaiono effetti che richiedono correzioni:
- aberrazione sferica: raggi lontani dall’asse non vanno a fuoco nello stesso punto dei raggi parassiali;
- aberrazione cromatica: l’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda, quindi colori diversi hanno focali diverse;
- astigmatismo e coma: punti fuori asse non generano immagini puntiformi perfette;
- diffrazione: l’apertura finita impone un limite alla risoluzione;
- spessore della lente: i piani principali non coincidono più;
- disallineamenti: decentramento e inclinazione degradano l’immagine.
Per obiettivi fotografici, microscopi, telescopi, sistemi laser e strumenti di misura, una singola lente sottile è solo il primo modello. Il progetto reale usa gruppi di lenti, materiali diversi, diaframmi, trattamenti antiriflesso e ottimizzazione numerica.
10. Uso ingegneristico
Il modello di lente sottile è utile perché fornisce formule rapide per:
- stimare la posizione dell’immagine in strumenti ottici;
- scegliere la focale di una lente;
- calcolare ingrandimenti;
- combinare lenti a contatto;
- dimensionare collimatori e semplici sistemi di imaging;
- controllare esercizi di ottica geometrica;
- capire occhiali, lenti di ingrandimento, microscopi e telescopi in prima approssimazione.
In laboratorio è spesso il modello con cui si inizia una progettazione: prima si dimensionano focali e distanze con lenti sottili, poi si correggono spessori, aberrazioni, aperture e tolleranze.
Errori comuni
- Mescolare convenzioni dei segni: la formula può essere corretta ma il risultato sbagliato se s, s' e f non seguono la stessa convenzione.
- Dimenticare le unità nel potere diottrico: P=1/f richiede f in metri.
- Confondere immagine reale e virtuale: un’immagine virtuale non è “falsa”, ma nasce dall’intersezione dei prolungamenti dei raggi.
- Usare l’approssimazione parassiale con raggi molto inclinati: aberrazioni e spessore diventano importanti.
- Trattare una lente spessa come sottile senza controllo: nei sistemi reali i piani principali possono essere separati.
- Sommare le focali invece dei poteri: lenti sottili a contatto sommano i poteri diottrici, non le distanze focali.
- Ignorare la dispersione: una focale misurata per una lunghezza d’onda può non valere esattamente per un’altra.
Vedi anche: ottica geometrica, ottica, rifrazione, legge di Snell, indice di rifrazione, specchio sferico, diffrazione, formulario di onde e ottica e specchi sferici e lenti sottili: esercizi svolti.