Specchi sferici e lenti sottili: esercizi svolti

Specchi sferici e lenti sottili obbediscono all’equazione dei punti coniugati:

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{f},$

dove $p$ è la distanza dell’oggetto, $q$ quella dell’immagine e $f$ la distanza focale. L’ingrandimento è $G=-q/p$ (positivo = immagine dritta, negativo = capovolta). Per gli specchi $f=R/2$ . Convenzione dei segni: $f>0$ per specchi concavi e lenti convergenti, $f<0$ per specchi convessi e lenti divergenti; $q>0$ per immagini reali (dallo stesso lato dell’osservatore per le lenti, davanti allo specchio per gli specchi).

1. Specchio concavo — immagine reale

Esercizio. Un oggetto è posto a $p=30\ \text{cm}$ da uno specchio concavo di raggio $R=40\ \text{cm}$ . Dove si forma l’immagine?

Passo 1 — distanza focale. $f=R/2=20\ \text{cm}$ .

Passo 2 — punti coniugati.

\begin{aligned} \dfrac{1}{q} &=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{p}\\ &=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{30}\\ &=\dfrac{3-2}{60} =\dfrac{1}{60}. \end{aligned}

$q=60\ \text{cm}.$

$q>0$ : immagine reale, davanti allo specchio, a $60\ \text{cm}$ .

2. Ingrandimento dell’immagine

Esercizio. Per lo specchio precedente ( $p=30\ \text{cm}$ , $q=60\ \text{cm}$ ), quale ingrandimento?

$G=-\dfrac{q}{p}=-\dfrac{60}{30}=-2{,}0.$

Immagine capovolta ( $G<0$ ) e doppia ( $|G|=2$ ).

3. Specchio concavo — oggetto entro il fuoco

Esercizio. Lo stesso specchio ( $f=20\ \text{cm}$ ) ha l’oggetto a $p=10\ \text{cm}$ (dentro il fuoco). Dove l’immagine?

\begin{aligned} \dfrac{1}{q} &=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{10}\\ &=\dfrac{1-2}{20} =-\dfrac{1}{20},\\ q&=-20\ \text{cm}. \end{aligned}

$q<0$ : immagine virtuale, dietro lo specchio, ingrandita ( $G=-q/p=+2$ , dritta). È il principio dello specchio per il trucco.

4. Specchio convesso

Esercizio. Un oggetto è a $p=25\ \text{cm}$ da uno specchio convesso di raggio $R=30\ \text{cm}$ . Dove l’immagine?

Specchio convesso: $f=-R/2=-15\ \text{cm}$ .

\begin{aligned} \dfrac{1}{q} &=\dfrac{1}{-15}-\dfrac{1}{25}\\ &=\dfrac{-5-3}{75} =-\dfrac{8}{75},\\ q&=-9{,}4\ \text{cm}. \end{aligned}

Immagine virtuale, dritta e rimpicciolita ( $G=-q/p=+0{,}38$ ): è lo specchio retrovisore (“gli oggetti sono più vicini di quanto appaiano”).

5. Lente convergente — immagine reale

Esercizio. Un oggetto è a $p=15\ \text{cm}$ da una lente convergente $f=10\ \text{cm}$ . Dove e com’è l’immagine?

\begin{aligned} \dfrac{1}{q} &=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}\\ &=\dfrac{3-2}{30} =\dfrac{1}{30},\\ q&=30\ \text{cm},\\ G&=-\dfrac{30}{15} =-2{,}0. \end{aligned}

Immagine reale, capovolta, doppia (proiettore/macchina fotografica).

6. Lente convergente come lente d’ingrandimento

Esercizio. La stessa lente ( $f=10\ \text{cm}$ ) ha l’oggetto a $p=6{,}0\ \text{cm}$ (dentro il fuoco). Immagine?

\begin{aligned} \dfrac{1}{q} &=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{6{,}0}\\ &=\dfrac{3-5}{30} =-\dfrac{2}{30},\\ q&=-15\ \text{cm},\\ G&=-\dfrac{-15}{6{,}0} =+2{,}5. \end{aligned}

Immagine virtuale, dritta, ingrandita: è la lente d’ingrandimento.

7. Lente divergente

Esercizio. Un oggetto è a $p=20\ \text{cm}$ da una lente divergente $f=-12\ \text{cm}$ . Immagine?

\begin{aligned} \dfrac{1}{q} &=\dfrac{1}{-12}-\dfrac{1}{20}\\ &=\dfrac{-5-3}{60} =-\dfrac{8}{60},\\ q&=-7{,}5\ \text{cm},\\ G&=+0{,}375. \end{aligned}

Le lenti divergenti danno sempre immagini virtuali, dritte e rimpicciolite.

8. Potere diottrico e lenti in contatto

Esercizio. Due lenti sottili a contatto hanno $f_1=20\ \text{cm}$ e $f_2=-50\ \text{cm}$ . Quale potere diottrico totale e quale focale equivalente?

Il potere in diottrie è $D=1/f$ (con $f$ in metri); le lenti a contatto sommano i poteri:

\begin{aligned} D_1&=\dfrac{1}{0{,}20}=5{,}0\ \text{D},\\ D_2&=\dfrac{1}{-0{,}50}=-2{,}0\ \text{D},\\ D_\text{tot}&=5{,}0-2{,}0=3{,}0\ \text{D}. \end{aligned}

\begin{aligned} f_\text{eq} &=\dfrac{1}{D_\text{tot}}\\ &=\dfrac{1}{3{,}0}\\ &=0{,}33\ \text{m} =33\ \text{cm}. \end{aligned}

9. Sistema a due lenti separate

Esercizio. Due lenti convergenti ( $f_1=10\ \text{cm}$ , $f_2=15\ \text{cm}$ ) distano $L=40\ \text{cm}$ . Un oggetto è a $p_1=20\ \text{cm}$ dalla prima. Dove l’immagine finale?

Passo 1 — prima lente.

\begin{aligned} \dfrac{1}{q_1} &=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{20}\\ &=\dfrac{1}{20},\\ q_1&=20\ \text{cm}. \end{aligned}

Passo 2 — l’immagine $q_1$ fa da oggetto per la seconda. $p_2=L-q_1=40-20=20\ \text{cm}$ .

Passo 3 — seconda lente.

\begin{aligned} \dfrac{1}{q_2} &=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20}\\ &=\dfrac{4-3}{60} =\dfrac{1}{60},\\ q_2&=60\ \text{cm}. \end{aligned}

L’immagine finale è reale, a $60\ \text{cm}$ dalla seconda lente. L’ingrandimento totale è:

\begin{aligned} G &=G_1G_2\\ &=\left(-\dfrac{q_1}{p_1}\right)\left(-\dfrac{q_2}{p_2}\right)\\ &=(-1)(-3) =+3. \end{aligned}

10. Ingrandimento di un microscopio composto

Esercizio. Un microscopio ha obiettivo $f_\text{ob}=5{,}0\ \text{mm}$ e oculare $f_\text{oc}=25\ \text{mm}$ , con lunghezza del tubo $\Delta=160\ \text{mm}$ e distanza della visione distinta $D_v=250\ \text{mm}$ . Quale ingrandimento totale?

L’ingrandimento è il prodotto di quello dell’obiettivo ( $\Delta/f_\text{ob}$ ) e dell’oculare ( $D_v/f_\text{oc}$ ):

\begin{aligned} G &=\dfrac{\Delta}{f_\text{ob}}\cdot\dfrac{D_v}{f_\text{oc}}\\ &=\dfrac{160}{5{,}0}\cdot\dfrac{250}{25}\\ &=32\times10\\ &=320\times. \end{aligned}

Lo strumento ingrandisce $320$ volte: il prodotto dei due stadi è la chiave degli strumenti ottici composti.

Sintesi

Concetto	Formula
Punti coniugati	$1/p+1/q=1/f$
Focale specchio	$f=R/2$
Ingrandimento	$G=-q/p$
Potere diottrico	$D=1/f$ (m⁻¹)
Lenti in contatto	$\displaystyle D_\text{tot}=\sum D_i$
Sistema a due lenti	$p_2=L-q_1$ , $G=G_1 G_2$

Errori da evitare:

sbagliare i segni: $f<0$ per specchi convessi e lenti divergenti; $q<0$ per immagini virtuali;
confondere immagine reale ( $q>0$ ) e virtuale ( $q<0$ ): la reale si può raccogliere su uno schermo;
usare $f=R$ invece di $f=R/2$ per gli specchi;
nei sistemi a due lenti, dimenticare che l’immagine della prima è l’oggetto della seconda ( $p_2=L-q_1$ );
sommare le focali invece dei poteri diottrici per lenti a contatto.