Lo smorzamento isteretico (o smorzamento strutturale, smorzamento interno) è il meccanismo con cui un sistema strutturale o meccanico dissipa energia vibrazionale attraverso l’isteresi del ciclo tensione-deformazione del materiale o dei dispositivi dissipativi. Si distingue dallo smorzamento viscoso — proporzionale alla velocità — per il fatto che l’energia dissipata per ciclo è proporzionale al quadrato dell’ampiezza e indipendente dalla frequenza di eccitazione.
Mentre l’attrito isteretico descrive il fenomeno dal punto di vista del materiale, lo smorzamento isteretico è il concetto utilizzato nell’analisi delle vibrazioni e nella progettazione strutturale per quantificare e modellare la dissipazione nei sistemi.
Modello matematico
Forza di smorzamento isteretico
Per un sistema a un grado di libertà con smorzamento isteretico, la forza dissipativa non è proporzionale alla velocità (come nel modello viscoso F_d = c\dot{x}) ma è proporzionale allo spostamento e sfasata di 90°:
F_{ist} = i\, \eta\, k\, x
dove \eta è il coefficiente di smorzamento isteretico (o structural damping coefficient, adimensionale), k la rigidezza e i l’unità immaginaria (notazione fasoriale per indicare lo sfasamento di 90° in avanti rispetto alla forza elastica).
Nell’equazione del moto in regime armonico x = X e^{i\omega t}:
m\ddot{x} + k(1 + i\eta)x = F_0 e^{i\omega t}
Il fattore (1 + i\eta) è il modulo complesso di rigidezza. La parte reale è la rigidezza elastica; la parte immaginaria codifica la dissipazione.
Energia dissipata per ciclo
L’energia dissipata per ciclo di oscillazione armonica di ampiezza X vale:
\Delta W = \pi \eta k X^2
Questa è la proprietà chiave che distingue lo smorzamento isteretico da quello viscoso (\Delta W_{visc} = \pi c \omega X^2, proporzionale alla frequenza): lo smorzamento isteretico dissipa la stessa energia per ciclo indipendentemente da quanto veloce avviene il ciclo.
Equivalenza con il rapporto di smorzamento viscoso
Alla frequenza di risonanza \omega_n = \sqrt{k/m}, i due modelli dissipano la stessa energia per ciclo se:
c_{eq} = \frac{\eta k}{\omega_n} \quad \Rightarrow \quad \zeta_{eq} = \frac{\eta}{2}
Questa equivalenza è valida solo alla risonanza. Lontano dalla risonanza i due modelli danno risposte diverse, il che è rilevante nella progettazione sismica.
Misurazione sperimentale
Il coefficiente \eta si misura con diversi metodi:
Metodo del decremento logaritmico (risposta libera): misurare l’inviluppo dell’oscillazione libera e calcolare \delta = \ln(A_n/A_{n+1}), poi \eta \approx 2\zeta \approx \delta/\pi.
Metodo della larghezza di banda (FRF): dalla funzione di risposta in frequenza, misurare le frequenze \omega_1, \omega_2 ai -3 dB rispetto al picco di risonanza: \eta \approx (\omega_2^2 - \omega_1^2)/\omega_n^2.
Analisi dinamico-meccanica (DMA): misura diretta di \tan\delta = E''/E' su provini di materiale — applicabile a polimeri, gomme, compositi.
Valori tipici nei sistemi strutturali
| Sistema | \eta (o 2\zeta) |
|---|---|
| Acciaio (struttura saldata) | 0,002–0,010 |
| Calcestruzzo armato (non fessurato) | 0,020–0,050 |
| Calcestruzzo armato (fessurato, sisma) | 0,050–0,100 |
| Struttura in legno | 0,030–0,060 |
| Cuscinetti in gomma naturale | 0,050–0,100 |
| Cuscinetti in gomma ad alto smorzamento (HDR) | 0,100–0,200 |
| Isolatori sismici al piombo (LRB) | 0,150–0,300 (equivalente) |
| Struttura con smorzatori viscoelastici | 0,050–0,200 (dipende da dispositivo) |
Dispositivi dissipativi per ingegneria strutturale
Nei sistemi strutturali ad elevata richiesta prestazionale (edifici antisismici, ponti, turbine eoliche), lo smorzamento intrinseco del materiale è spesso insufficiente. Si aggiungono dispositivi dissipativi che sfruttano l’isteresi per aumentare \eta:
Isolatori sismici a gomma armata
I cuscinetti in gomma armata (LRB, Lead Rubber Bearing; HDR, High Damping Rubber) isolano la struttura dal moto sismico abbassando la frequenza propria e dissipando energia per isteresi della gomma (HDR) o per plasticizzazione del nucleo di piombo (LRB). Il ciclo forza-spostamento è quasi rettangolare (LRB) o a banana (HDR), con energia dissipata proporzionale all’area del ciclo.
Dissipatori isteretici metallici
I dissipatori isteretici in acciaio (ADAS, Added Damping and Stiffness; dissipatori a flessione, a torsione, a taglio) sfruttano la plasticità dell’acciaio: la struttura rimane elastica mentre i dissipatori si plastificano ciclicamente, assorbendo l’energia sismica. Il ciclo forza-spostamento è quasi bilineare elastoplastico.
Giunti elastomerici per macchinari
Nei sistemi di trasmissione (accoppiatori flessibili, supporti antivibranti), i giunti in gomma o elastomero funzionano come smorzatori isteretici: attenuano le vibrazioni trasmesse tra motore e macchina operatrice sfruttando l’isteresi dell’elastomero.
Risposta sismica con smorzamento isteretico
In ingegneria sismica, il comportamento isteretico è centrale: gli edifici progettati per resistere ai sismi secondo la filosofia capacity design sono concepiti affinché le plasticizzazioni avvengano nelle zone dissipative previste (zone critiche di travi e colonne) in modo ciclico e controllato, sfruttando deliberatamente l’isteresi elasto-plastica dell’acciaio o del cemento armato per dissipare l’energia sismica senza collasso.
I modelli isteretici usati nell’analisi nonlineare dinamica (Clough, Takeda, modello di Park-Kent per il calcestruzzo, modello di Ramberg-Osgood per l’acciaio) descrivono matematicamente i cicli forza-spostamento in funzione della storia di carico.
Vedi anche: Attrito Isteretico, Ammortizzatore, Affidabilità.