Il tempo di primo passaggio è il tempo aleatorio in cui un processo stocastico raggiunge per la prima volta uno stato, una soglia o un insieme di interesse. È una grandezza fondamentale quando il problema non è solo “dove si trova il processo”, ma “quando arriva per la prima volta” a una condizione critica.
Per una catena discreta:
Se A=\{j\} si parla spesso di tempo di primo ingresso nello stato j. Se si parte già da j e si cerca il primo ritorno, si usa:
Variabile aleatoria e infinito
Il tempo di primo passaggio è una variabile aleatoria e può anche essere infinito. Se il processo non raggiunge mai l’insieme A, si pone:
Per questo si studiano due quantità distinte: la probabilità di raggiungere A e il tempo medio condizionato o non condizionato al raggiungimento.
Catene di Markov
Nelle catene di Markov, i tempi medi di primo passaggio soddisfano spesso equazioni ricorsive. Se m_i è il tempo medio per raggiungere un insieme target A partendo dallo stato i, allora:
e, per i\notin A:
Queste relazioni trasformano un problema probabilistico in un sistema lineare, utile in affidabilità, code, reti e processi decisionali.
Esempi applicativi
Il concetto è centrale in affidabilità, code, rischio, finanza matematica, controllo, manutenzione e sicurezza. Può rappresentare il tempo fino al guasto, il tempo di assorbimento, il superamento di una soglia, il ritorno a uno stato operativo, il raggiungimento di una barriera o l’arrivo di un processo a una condizione critica.
Nel moto browniano, i tempi di primo passaggio descrivono l’istante in cui una traiettoria supera una barriera. Nei modelli di code, descrivono il tempo fino a saturazione o svuotamento. Nei modelli di affidabilità, descrivono il tempo fino al primo guasto.
Un errore comune è confondere tempo di primo passaggio e tempo di permanenza. Il primo riguarda il primo ingresso in un insieme; il secondo misura quanto tempo il processo resta in uno stato o in una regione.
Vedi anche: Processo stocastico, Catena di Markov, Moto browniano, Affidabilità.