Processo di Poisson non omogeneo

Un processo di Poisson non omogeneo è un processo di conteggio $N(t)$ con incrementi indipendenti, ma con intensità istantanea variabile $\lambda(t)$ . Il numero di eventi in un intervallo $(a,b]$ ha distribuzione di Poisson con media:

\Lambda(a,b)=\int_a^b \lambda(u)\,du.

Quindi $N(b)-N(a)\sim\operatorname{Poisson}(\Lambda(a,b))$ . Se $\lambda(t)$ è costante si torna al processo di Poisson omogeneo.

La funzione:

\Lambda(t)=\int_0^t \lambda(u)\,du

è detta intensità cumulata o funzione media. Vale:

\mathbb{E}[N(t)]=\Lambda(t).

Definizione locale

In forma infinitesima, per un intervallo piccolo $\Delta t$ :

P(N(t+\Delta t)-N(t)=1)\approx \lambda(t)\Delta t,

P(N(t+\Delta t)-N(t)\ge2)=o(\Delta t).

Queste relazioni dicono che $\lambda(t)$ è il tasso istantaneo di arrivo. Se alle 9:00 un servizio riceve molte più richieste che alle 3:00, l’intensità non può essere costante: deve seguire il profilo temporale della domanda.

Distribuzione degli eventi

La probabilità di osservare $k$ eventi in $(a,b]$ è:

P(N(b)-N(a)=k)= e^{-\Lambda(a,b)} \frac{\Lambda(a,b)^k}{k!}.

Gli incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti, ma non stazionari: la distribuzione di un incremento dipende dalla posizione temporale dell’intervallo, non solo dalla sua lunghezza.

Trasformazione temporale

Una proprietà importante è il cambio di tempo. Se $N(t)$ è un processo di Poisson non omogeneo con intensità cumulata $\Lambda(t)$ crescente, allora il processo trasformato:

\widetilde{N}(s)=N(\Lambda^{-1}(s))

si comporta come un processo di Poisson omogeneo di tasso unitario. In pratica, il tempo fisico viene deformato in tempo operativo: periodi ad alta intensità scorrono più velocemente, periodi a bassa intensità più lentamente.

Questa proprietà è usata per simulare processi, controllare modelli e costruire diagnostiche grafiche.

Simulazione

Due metodi comuni sono:

inversione dell’intensità cumulata, quando $\Lambda^{-1}$ è disponibile o calcolabile;
thinning, quando esiste un limite superiore $\lambda(t)\le \lambda_{\max}$ .

Nel thinning si genera un processo di Poisson omogeneo con tasso $\lambda_{\max}$ e si accetta un evento al tempo $t$ con probabilità:

\frac{\lambda(t)}{\lambda_{\max}}.

Il risultato conserva solo gli eventi coerenti con l’intensità variabile desiderata.

Applicazioni

È usato per arrivi non uniformi nel tempo: traffico giornaliero, richieste a un server, guasti con intensità stagionale, chiamate a un call center, incidenti stradali, eventi sismici modellati su finestre operative, accessi a servizi digitali o profili di domanda variabili.

In affidabilità, un’intensità crescente può rappresentare invecchiamento o usura; un’intensità periodica può rappresentare cicli ambientali o operativi; un’intensità stimata da dati storici può alimentare modelli previsionali e dimensionamento delle risorse.

Differenza da altri modelli

Il processo di Poisson non omogeneo mantiene incrementi indipendenti. Se gli eventi tendono ad auto-eccitarsi, raggrupparsi o dipendere da stati nascosti, servono modelli diversi. Un processo di Cox, per esempio, usa un’intensità casuale; un processo autoeccitante aumenta l’intensità dopo un evento; un processo di rinnovo modella direttamente interarrivi indipendenti non necessariamente esponenziali.

Vedi anche: Processo di Poisson.