Un processo di rinnovo conta eventi separati da tempi interarrivo indipendenti e identicamente distribuiti. Se X_1,X_2,\ldots sono i tempi tra rinnovi e S_n=X_1+\cdots+X_n, il processo di conteggio è:
La sequenza S_n rappresenta gli istanti di rinnovo: S_1 è il primo evento, S_2 il secondo e così via. La variabile N(t) dice quanti rinnovi sono già avvenuti entro il tempo t. La costruzione è semplice, ma molto flessibile: basta scegliere una distribuzione per gli interarrivi X_i per modellare cicli regolari, guasti casuali, tempi di lavorazione, arrivi di richieste, sostituzioni preventive o ritorni a uno stato iniziale.
Definizione probabilistica
Un processo di rinnovo ordinario richiede in genere:
- X_1,X_2,\ldots indipendenti;
- X_i identicamente distribuite;
- X_i\ge 0 quasi certamente;
- 0<\mu=\mathbb{E}[X_i]<\infty quando si vogliono usare i risultati asintotici classici.
La funzione di rinnovo è:
Essa misura il numero medio di eventi osservati entro t. Se F è la distribuzione degli interarrivi, allora:
dove F^{*n} è la convoluzione n-esima di F. Questa formula dice che l’evento “almeno n rinnovi entro t” equivale a S_n\le t.
Collegamento con il processo di Poisson
Il processo di Poisson è un caso particolare di processo di rinnovo: gli interarrivi sono esponenziali indipendenti. In quel caso la proprietà di assenza di memoria rende indipendenti anche gli incrementi di conteggio su intervalli disgiunti. In un processo di rinnovo generale questa proprietà si perde: sapere da quanto tempo non si osserva un evento può cambiare la previsione del prossimo rinnovo.
Questa differenza è decisiva in ingegneria. Un componente meccanico non “dimentica” sempre l’età accumulata; un ciclo di manutenzione può avere una durata concentrata attorno a un valore medio; una richiesta informatica può arrivare a raffiche; un materiale può mostrare un rischio di guasto crescente con il tempo. Il modello di rinnovo permette di rappresentare questi casi senza forzare interarrivi esponenziali.
Tempo residuo ed età del processo
Due grandezze operative sono l’età del processo e il tempo residuo:
A(t) misura il tempo trascorso dall’ultimo rinnovo; B(t) il tempo che manca al prossimo. In un impianto sottoposto a sostituzioni, A(t) è l’età del componente installato e B(t) è la vita residua fino al prossimo intervento. Se gli interarrivi non sono esponenziali, la distribuzione di B(t) non coincide in generale con quella di un nuovo interarrivo: osservare il sistema in un istante casuale introduce un effetto di campionamento per durata.
Interpretazione ingegneristica
In affidabilità, un rinnovo può rappresentare la sostituzione di un componente guasto con uno nuovo. In logistica può rappresentare il completamento di una missione; in telecomunicazioni l’arrivo di pacchetti; nella produzione l’inizio di un nuovo ciclo macchina. Il vantaggio del modello è separare due livelli: la distribuzione del tempo tra eventi e il conteggio cumulato degli eventi.
Il parametro \mu governa il ritmo medio a lungo termine. Sotto ipotesi regolari, il tasso medio di rinnovo tende a:
Questa relazione non dice che gli eventi arrivino periodicamente, ma che, su orizzonti lunghi, il numero di rinnovi cresce approssimativamente come t/\mu. È la base per stimare carichi medi di manutenzione, ricambi attesi, frequenze di intervento e costi ricorrenti.
Errori comuni
Un errore frequente è trattare ogni processo di conteggio come Poisson. Il processo di rinnovo è più generale: può avere interarrivi deterministici, gamma, Weibull, lognormali o empirici. Un altro errore è confondere indipendenza degli interarrivi con indipendenza degli incrementi del conteggio: la seconda vale nel Poisson, non in tutti i processi di rinnovo.
Per approfondire il comportamento asintotico della funzione m(t), vedi anche il teorema del rinnovo.