Problema di Cauchy — ingegnerismo.it

Un problema di Cauchy è un problema ai valori iniziali per una equazione differenziale ordinaria. Non chiede soltanto di trovare tutte le soluzioni di un’equazione differenziale: chiede la soluzione che parte da un dato stato iniziale.

Per una EDO del primo ordine in forma normale:

\begin{cases} y'(t)=f(t,y(t)),\\ y(t_0)=y_0. \end{cases}

la funzione incognita è $y(t)$ , il punto iniziale è $t_0$ , il valore iniziale è $y_0$ e la soluzione cercata deve passare per il punto:

(t_0,y_0).

Il dato iniziale seleziona una curva integrale tra le molte curve possibili dell’equazione. In termini fisici, il problema dice: “conosco la legge di evoluzione e lo stato iniziale; voglio prevedere lo stato futuro, e spesso anche quello passato, finché la soluzione esiste”.

Forma integrale

Quando $y$ è soluzione del problema di Cauchy:

y'(t)=f(t,y(t)), \qquad y(t_0)=y_0,

allora, integrando tra $t_0$ e $t$ , si ottiene:

y(t)=y_0+\int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\,ds.

Questa forma integrale è equivalente alla forma differenziale sotto ipotesi regolari. È utile perché mostra che una soluzione non è soltanto una curva con una certa derivata: è anche un punto fisso di un operatore integrale. È l’idea alla base delle iterazioni di Picard e del teorema di Picard-Lindelöf.

EDO di ordine superiore

Per una EDO di ordine $n$ in forma normale:

y^{(n)}=f\!\left(t,y,y',\dots,y^{(n-1)}\right),

servono in generale $n$ condizioni iniziali nello stesso punto:

y(t_0)=y_0,\qquad y'(t_0)=y_1,\qquad \dots,\qquad y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}.

Il motivo è strutturale: risolvere una EDO di ordine $n$ introduce, in generale, $n$ costanti arbitrarie. Le condizioni iniziali determinano quelle costanti.

Per esempio, il problema:

\begin{cases} my''+cy'+ky=F(t),\\ y(t_0)=y_0,\\ y'(t_0)=v_0, \end{cases}

descrive un oscillatore massa-smorzatore-molla con posizione iniziale $y_0$ e velocità iniziale $v_0$ . La sola posizione iniziale non basta: due corpi nella stessa posizione ma con velocità diverse hanno evoluzioni diverse.

Riduzione a sistema del primo ordine

Ogni problema di Cauchy di ordine superiore può essere riscritto come un sistema di EDO del primo ordine. Si introducono le variabili di stato:

x_1=y,\qquad x_2=y',\qquad \dots,\qquad x_n=y^{(n-1)}.

Allora:

x_1'=x_2,\qquad x_2'=x_3,\qquad \dots,\qquad x_{n-1}'=x_n,

x_n'=f(t,x_1,x_2,\dots,x_n).

Il problema diventa:

\begin{cases} x'(t)=F(t,x(t)),\\ x(t_0)=x_0. \end{cases}

Questa forma è centrale in analisi numerica, controlli automatici, meccanica e simulazione: lo stato $x(t)$ contiene tutte le informazioni necessarie per proseguire l’evoluzione.

Esistenza, unicità e intervallo massimo

Il problema di Cauchy è ben posto solo se la soluzione esiste, è unica e dipende in modo ragionevole dai dati. Il teorema di Picard-Lindelöf garantisce esistenza e unicità locale se $f$ è continua in $t$ e localmente lipschitziana rispetto alla variabile di stato $y$ .

La parola locale è importante. Anche quando esistenza e unicità sono garantite vicino a $t_0$ , la soluzione può non esistere per tutti i tempi. Per esempio:

\begin{cases} y'=y^2,\\ y(0)=1 \end{cases}

ha soluzione:

y(t)=\frac{1}{1-t}.

La soluzione è unica vicino a $0$ , ma esplode per $t\to1^{-}$ e non può essere prolungata come soluzione reale regolare oltre $t=1$ . L’intervallo di definizione naturale è quindi parte del risultato.

Quando l’unicità fallisce

Se le ipotesi di unicità non valgono, dallo stesso dato iniziale possono partire più soluzioni. Un esempio classico è:

\begin{cases} y'=\sqrt{|y|},\\ y(0)=0. \end{cases}

La funzione identicamente nulla:

y(t)=0

è una soluzione. Ma, per ogni $a\ge0$ , è soluzione anche la funzione che resta ferma fino a $a$ e poi si muove:

y_a(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t\le a,\\ \dfrac{(t-a)^2}{4}, & t>a. \end{cases}

Il punto critico è che $\sqrt{|y|}$ non è lipschitziana rispetto a $y$ in un intorno di $0$ . Il modello non determina una traiettoria unica a partire dallo stesso stato iniziale.

Esempio elementare

Per il problema lineare:

\begin{cases} y'=ay,\\ y(t_0)=y_0, \end{cases}

la soluzione è:

y(t)=y_0e^{a(t-t_0)}.

Se $a<0$ , la soluzione decade esponenzialmente; se $a>0$ , cresce; se $y_0=0$ , resta identicamente nulla. Questa forma compare in scarica di condensatori, decadimento radioattivo, modelli di crescita elementari e sistemi lineari del primo ordine.

Collegamento con i metodi numerici

I metodi numerici per EDO approssimano quasi sempre un problema di Cauchy. Dato:

y'(t)=f(t,y(t)), \qquad y(t_0)=y_0,

un passo del metodo di Eulero esplicito è:

y_{k+1}=y_k+h f(t_k,y_k).

Il metodo usa lo stato noto $y_k$ per avanzare di un passo. Metodi più accurati, come il metodo di Runge-Kutta, valutano il campo $f$ in più punti intermedi, ma restano fondati sulla stessa struttura: si parte dal dato iniziale e si propaga la soluzione.

Per questo, prima di simulare, bisogna verificare che il problema continuo abbia senso: se il modello non ha unicità, la simulazione potrebbe selezionare una traiettoria numerica senza che il problema matematico ne indichi una sola.

Differenza dai problemi ai limiti

Un problema di Cauchy impone tutti i dati nello stesso punto. Un problema ai limiti, invece, impone condizioni in punti diversi, per esempio:

\begin{cases} y''=f(t,y,y'),\\ y(a)=\alpha,\\ y(b)=\beta. \end{cases}

La differenza non è solo terminologica. Nel problema di Cauchy si fa evolvere uno stato iniziale; nel problema ai limiti si cerca una traiettoria che soddisfi vincoli distribuiti. Travi elastiche, profili termici stazionari, autovalori e modi normali portano spesso a problemi ai limiti, non a problemi di Cauchy.

Significato ingegneristico

Il problema di Cauchy è il formato naturale dei modelli dinamici:

in meccanica, posizione e velocità iniziali determinano il moto di un sistema;
nei circuiti, tensioni sui condensatori e correnti negli induttori sono stati iniziali;
nei controlli automatici, il modello in spazio di stato parte da $x(t_0)=x_0$ ;
in termica transitoria, la temperatura iniziale determina l’evoluzione successiva;
in farmacocinetica, la concentrazione iniziale condiziona il profilo temporale.

Anche la trasformata di Laplace è particolarmente efficace per EDO lineari con condizioni iniziali, perché le derivate trasformate incorporano direttamente i valori iniziali.

Errori comuni

Dimenticare condizioni iniziali: una EDO da sola descrive una famiglia di soluzioni, non una traiettoria specifica.
Fornire meno condizioni del necessario per un’equazione di ordine superiore.
Confondere un problema di Cauchy con un problema ai limiti.
Dare per scontata l’unicità senza controllare regolarità o lipschitzianità.
Pensare che esistenza locale significhi esistenza globale per ogni tempo.
Avviare una simulazione numerica senza verificare scala del passo, stabilità e comportamento qualitativo del modello.

Vedi anche: Equazione differenziale ordinaria, Teorema di Picard-Lindelöf, EDO del secondo ordine, Sistemi di EDO, Problema ai limiti e Metodi numerici per EDO.