La probabilità condizionata misura la probabilità che si verifichi un evento A dato che un altro evento B si è già verificato (o si assume verificato). Rappresenta il concetto di “aggiornamento” della conoscenza alla luce di nuove informazioni.
Definizione
Dati due eventi A e B con P(B) > 0, la probabilità di A condizionata a B è definita come: P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
Geometricamente, il condizionamento a B equivale a restringere lo Spazio Campionario dall’intero \Omega al solo insieme B.
Proprietà
- Regola della Catena: P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B).
- Se A e B sono Indipendenti, allora P(A|B) = P(A), ovvero la conoscenza di B non altera la probabilità di A.
- La funzione P(\cdot | B) è essa stessa una misura di probabilità che soddisfa gli Assiomi di Kolmogorov.
Significato Ingegneristico
- Diagnostica e Manutenzione: In ingegneria, la probabilità condizionata è fondamentale per il monitoraggio dello stato (Condition Monitoring). Ad esempio, “qual è la probabilità che un cuscinetto si rompa entro 100 ore (A), dato che il sensore di vibrazioni ha superato una certa soglia (B)?”.
- Telecomunicazioni: Viene usata per calcolare la probabilità di errore di bit condizionata al tipo di modulazione o al livello di rumore presente nel canale.
- Intelligenza Artificiale e Filtro di Kalman: Gli algoritmi di apprendimento e stima aggiornano continuamente le probabilità degli stati del sistema (es. la posizione di un drone) condizionandole alle nuove misure provenienti dai sensori.
Vedi anche: Indipendenza Stocastica, Teorema di Bayes, Formula delle Probabilità Totali.