Isometria

Un’isometria è una trasformazione geometrica che conserva le distanze tra tutti i punti: se $d(P, Q)$ è la distanza tra $P$ e $Q$, allora $d(f(P), f(Q)) = d(P, Q)$ per ogni coppia di punti. Le isometrie preservano anche angoli, aree e volumi.

Vedi anche: Trasformazioni del Piano, Applicazione Lineare.

Isometrie del Piano

Ogni isometria del piano euclideo è della forma $f(\vec{x}) = Q\vec{x} + \vec{t}$ con $Q$ matrice ortogonale ($2 \times 2$) e $\vec{t}$ vettore di traslazione.

Classificazione

Tipo	Parte lineare $Q$	$\det Q$	Punti fissi
Traslazione	$I$	$+1$	nessuno (o tutto se $\vec{t} = 0$)
Rotazione di angolo $\theta$	$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$	$+1$	il centro
Riflessione rispetto a una retta	simmetrica con $\det = -1$	$-1$	i punti della retta
Scivolamento (glide reflection)	riflessione + traslazione parallela alla retta	$-1$	nessuno

Le isometrie con $\det Q = +1$ si dicono dirette (o proprie); quelle con $\det Q = -1$ si dicono inverse (o improprie).

Teorema di classificazione: ogni isometria diretta del piano è una traslazione o una rotazione; ogni isometria inversa è una riflessione o uno scivolamento.

Isometrie dello Spazio

Ogni isometria di $\mathbb{R}^3$ è della forma $f(\vec{x}) = Q\vec{x} + \vec{t}$ con $Q \in O(3)$ (gruppo ortogonale, $Q^T Q = I$).

• $\det Q = +1$: isometrie dirette → traslazioni, rotazioni attorno a un asse, viti (rotazione + traslazione lungo l’asse).
• $\det Q = -1$: isometrie inverse → riflessioni rispetto a un piano, rotorie-riflessioni, inversioni.

Gruppo delle isometrie dirette: $SE(3)$ (gruppo euclideo speciale), generato da $SO(3)$ (rotazioni) e $\mathbb{R}^3$ (traslazioni). È fondamentale in robotica.

Rappresentazione Matriciale in Coordinate Omogenee

In coordinate omogenee, un’isometria si scrive come matrice $4 \times 4$:

$\begin{pmatrix} Q & \vec{t} \\ \vec{0}^T & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q\vec{x} + \vec{t} \\ 1 \end{pmatrix}$

La composizione di isometrie diventa prodotto di matrici $4 \times 4$.

Applicazioni ingegneristiche

• Robotica: la cinematica diretta di un robot è una composizione di isometrie (rotazioni e traslazioni tra sistemi di riferimento solidali ai link); le matrici di Denavit-Hartenberg sono la rappresentazione standard.
• CAD/CAM: le operazioni di posizionamento di parti (assemblaggio) sono isometrie dello spazio; le collisioni si verificano applicando le stesse trasformazioni a tutti i solidi.
• Visione artificiale: la calibrazione estrinseca di una telecamera stima l’isometria tra il sistema di riferimento mondo e quello della telecamera.
• Cristallografia: i gruppi di simmetria dei cristalli (gruppi spaziali) sono sottogruppi del gruppo delle isometrie di $\mathbb{R}^3$.