Un’isometria è una trasformazione geometrica che conserva le distanze tra tutti i punti: se d(P, Q) è la distanza tra P e Q, allora d(f(P), f(Q)) = d(P, Q) per ogni coppia di punti. Le isometrie preservano anche angoli, aree e volumi.
Vedi anche: Trasformazioni del Piano, Applicazione Lineare.
Isometrie del Piano
Ogni isometria del piano euclideo è della forma f(\vec{x}) = Q\vec{x} + \vec{t} con Q matrice ortogonale (2 \times 2) e \vec{t} vettore di traslazione.
Classificazione
| Tipo | Parte lineare Q | \det Q | Punti fissi |
|---|---|---|---|
| Traslazione | I | +1 | nessuno (o tutto se \vec{t} = 0) |
| Rotazione di angolo \theta | \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} | +1 | il centro |
| Riflessione rispetto a una retta | simmetrica con \det = -1 | -1 | i punti della retta |
| Scivolamento (glide reflection) | riflessione + traslazione parallela alla retta | -1 | nessuno |
Le isometrie con \det Q = +1 si dicono dirette (o proprie); quelle con \det Q = -1 si dicono inverse (o improprie).
Teorema di classificazione: ogni isometria diretta del piano è una traslazione o una rotazione; ogni isometria inversa è una riflessione o uno scivolamento.
Isometrie dello Spazio
Ogni isometria di \mathbb{R}^3 è della forma f(\vec{x}) = Q\vec{x} + \vec{t} con Q \in O(3) (gruppo ortogonale, Q^T Q = I).
- \det Q = +1: isometrie dirette → traslazioni, rotazioni attorno a un asse, viti (rotazione + traslazione lungo l’asse).
- \det Q = -1: isometrie inverse → riflessioni rispetto a un piano, rotorie-riflessioni, inversioni.
Gruppo delle isometrie dirette: SE(3) (gruppo euclideo speciale), generato da SO(3) (rotazioni) e \mathbb{R}^3 (traslazioni). È fondamentale in robotica.
Rappresentazione Matriciale in Coordinate Omogenee
In coordinate omogenee, un’isometria si scrive come matrice 4 \times 4:
\begin{pmatrix} Q & \vec{t} \\ \vec{0}^T & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q\vec{x} + \vec{t} \\ 1 \end{pmatrix}
La composizione di isometrie diventa prodotto di matrici 4 \times 4.
Applicazioni ingegneristiche
- Robotica: la cinematica diretta di un robot è una composizione di isometrie (rotazioni e traslazioni tra sistemi di riferimento solidali ai link); le matrici di Denavit-Hartenberg sono la rappresentazione standard.
- CAD/CAM: le operazioni di posizionamento di parti (assemblaggio) sono isometrie dello spazio; le collisioni si verificano applicando le stesse trasformazioni a tutti i solidi.
- Visione artificiale: la calibrazione estrinseca di una telecamera stima l’isometria tra il sistema di riferimento mondo e quello della telecamera.
- Cristallografia: i gruppi di simmetria dei cristalli (gruppi spaziali) sono sottogruppi del gruppo delle isometrie di \mathbb{R}^3.