Un intervallo di tolleranza è un intervallo statistico costruito per contenere almeno una frazione specificata della popolazione con un dato livello di confidenza. È diverso sia dall’intervallo di confidenza, che riguarda un parametro, sia dall’intervallo di predizione, che riguarda una o più osservazioni future.
In ingegneria è importante quando si vuole affermare qualcosa del tipo: con confidenza 95%, almeno il 99% dei pezzi prodotti ha una misura compresa tra questi due limiti.
1. Forma della dichiarazione
La struttura logica è:
Qui:
- p è la copertura della popolazione, per esempio 0{,}90, 0{,}95 o 0{,}99;
- 1-\alpha è il livello di confidenza, per esempio 0{,}95;
- l’incertezza riguarda l’intervallo calcolato dal campione.
La doppia natura dell’affermazione è essenziale: si vuole coprire una quota della popolazione, ma con una confidenza che tiene conto del fatto che i parametri della distribuzione sono stimati da dati finiti.
2. Differenza dagli altri intervalli
Un intervallo di confidenza per la media risponde alla domanda: dove può trovarsi il parametro \mu?
Un intervallo di predizione risponde alla domanda: dove può cadere una futura osservazione?
Un intervallo di tolleranza risponde alla domanda: quale intervallo contiene almeno una certa frazione dell’intera popolazione?
Queste tre domande sono diverse. Usare un intervallo di confidenza al posto di un intervallo di tolleranza è un errore grave: l’intervallo di confidenza per la media può essere molto stretto anche quando la variabilità individuale dei pezzi è ampia.
3. Caso normale bilaterale
Se si assume che la popolazione sia normale, un intervallo di tolleranza bilaterale ha spesso forma:
dove \bar{X} è la media campionaria, S è la deviazione standard campionaria e k è un fattore di tolleranza che dipende da:
- dimensione campionaria n;
- copertura desiderata p;
- livello di confidenza 1-\alpha;
- tipo di intervallo, unilaterale o bilaterale.
Il fattore k è maggiore del semplice quantile normale perché deve incorporare l’incertezza nella stima di media e varianza.
4. Intervalli unilaterali
In molti problemi tecnici interessa un solo lato. Per esempio:
- almeno il 99% dei pezzi deve avere resistenza sopra un limite minimo;
- almeno il 95% delle emissioni deve restare sotto una soglia;
- il tempo di risposta deve essere inferiore a un requisito per una certa quota dei casi.
Un intervallo di tolleranza unilaterale inferiore può essere:
con l’affermazione che almeno una frazione p della popolazione supera L con confidenza 1-\alpha.
Analogamente, un limite superiore:
può essere usato per coprire una quota della popolazione al di sotto di U.
5. Intervalli non parametrici
Se non si vuole assumere normalità, si possono costruire intervalli di tolleranza non parametrici usando statistiche d’ordine. Ordinato il campione:
un intervallo del tipo:
può coprire una frazione della popolazione con una certa confidenza, scegliendo opportunamente r e s.
Questi intervalli richiedono spesso campioni più grandi rispetto al caso parametrico, ma sono più robusti rispetto a ipotesi distribuzionali sbagliate.
6. Relazione con specifiche
Gli intervalli di tolleranza non sono la stessa cosa delle tolleranze di progetto. Una tolleranza di progetto definisce limiti accettabili, per esempio:
Un intervallo di tolleranza statistico stima invece dove cade una quota della popolazione. Confrontare l’intervallo statistico con i limiti di specifica permette di valutare se il processo è capace di produrre una percentuale sufficiente di pezzi conformi.
Se l’intervallo di tolleranza al 99% resta dentro i limiti di specifica con confidenza 95%, l’evidenza a favore della conformità del processo è molto più forte di una semplice media dentro specifica.
7. Dimensione campionaria
La dimensione campionaria influenza fortemente la larghezza dell’intervallo. Campioni piccoli richiedono fattori k grandi, perché l’incertezza sulla distribuzione è elevata.
Questo è spesso il punto critico nei collaudi: dimostrare che il 99% della popolazione rientra in specifica con alta confidenza richiede molti più dati di quanto suggerisca una valutazione basata sulla sola media.
La statistica campionaria entra quindi non solo nel calcolo dell’intervallo, ma anche nella pianificazione del numero di osservazioni.
8. Applicazioni
Gli intervalli di tolleranza sono usati in:
- validazione di processo;
- controllo qualità;
- prove di accettazione;
- affidabilità e durata;
- calibrazione e misura;
- requisiti di sicurezza;
- produzione farmaceutica, meccanica, elettronica e aerospaziale.
Sono particolarmente adatti quando la domanda non è “qual è la media?”, ma “quale quota della produzione rispetta il requisito?“.
9. Errori comuni
Il primo errore è usare un intervallo di confidenza per la media come se descrivesse la dispersione dei singoli pezzi. Non lo fa.
Il secondo errore è scegliere p e 1-\alpha in modo intercambiabile. Copertura della popolazione e confidenza statistica sono due livelli distinti.
Il terzo errore è applicare formule normali senza controllare plausibilità della distribuzione normale, outlier, asimmetria o limiti fisici.
10. Uso operativo
Un intervallo di tolleranza va specificato dichiarando copertura, confidenza, lato o bilateralità, assunzioni distribuzionali, metodo di calcolo e dimensione campionaria. Solo con queste informazioni la frase “il processo rientra in tolleranza” ha un significato statistico difendibile.