Indipendenza Stocastica

Due eventi $A$ e $B$ si dicono stocasticamente indipendenti (o semplicemente indipendenti) se la probabilità che si verifichino entrambi è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Se $P(B) > 0$, questa definizione è equivalente a dire che la Probabilità Condizionata di $A$ dato $B$ è uguale alla probabilità di $A$: $P(A|B) = P(A)$

Indipendenza di più Eventi

Una famiglia di eventi $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ è indipendente se per ogni sotto-collezione di indici $\{i_1, \dots, i_k\}$ vale: $P(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdots P(A_{i_k})$ Nota: l’indipendenza a due a due (pairwise) non implica l’indipendenza collettiva della famiglia.

Significato Ingegneristico

• Ridondanza di Sistema: In ingegneria dell’affidabilità, l’indipendenza è l’obiettivo principale della ridondanza. Se due componenti sono indipendenti, la probabilità che falliscano entrambi contemporaneamente è molto bassa ($P(F_1) \cdot P(F_2)$). Se invece i guasti sono correlati (guasti a causa comune), la ridondanza perde efficacia.
• Teoria dell’Informazione: Due variabili aleatorie indipendenti non condividono informazione. La loro mutua informazione è zero. Questo è fondamentale per massimizzare l’efficienza della compressione e della trasmissione.
• Campionamento: Nella statistica inferenziale, si assume spesso che le osservazioni di un campione siano variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.), condizione necessaria per applicare molti teoremi limite.

Vedi anche: Probabilità Condizionata, Covarianza.