Due eventi A e B si dicono stocasticamente indipendenti (o semplicemente indipendenti) se la probabilità che si verifichino entrambi è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi: P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Se P(B) > 0, questa definizione è equivalente a dire che la Probabilità Condizionata di A dato B è uguale alla probabilità di A: P(A|B) = P(A)
Indipendenza di più Eventi
Una famiglia di eventi \{A_1, A_2, \dots, A_n\} è indipendente se per ogni sotto-collezione di indici \{i_1, \dots, i_k\} vale: P(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdots P(A_{i_k}) Nota: l’indipendenza a due a due (pairwise) non implica l’indipendenza collettiva della famiglia.
Significato Ingegneristico
- Ridondanza di Sistema: In ingegneria dell’affidabilità, l’indipendenza è l’obiettivo principale della ridondanza. Se due componenti sono indipendenti, la probabilità che falliscano entrambi contemporaneamente è molto bassa (P(F_1) \cdot P(F_2)). Se invece i guasti sono correlati (guasti a causa comune), la ridondanza perde efficacia.
- Teoria dell’Informazione: Due variabili aleatorie indipendenti non condividono informazione. La loro mutua informazione è zero. Questo è fondamentale per massimizzare l’efficienza della compressione e della trasmissione.
- Campionamento: Nella statistica inferenziale, si assume spesso che le osservazioni di un campione siano variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.), condizione necessaria per applicare molti teoremi limite.
Vedi anche: Probabilità Condizionata, Covarianza.