Formula di D’Alembert — ingegnerismo.it

La formula di D’Alembert fornisce la soluzione esplicita del problema di Cauchy per l’equazione delle onde unidimensionale sulla retta:

u_{tt}=c^2u_{xx}, \qquad x\in\mathbb R,\ t>0,

con dati iniziali

u(x,0)=f(x), \qquad u_t(x,0)=g(x).

La soluzione è

u(x,t) = \dfrac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2} + \dfrac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct}g(\xi)\,d\xi.

Significato dei due termini

Termine	Interpretazione
$\displaystyle \dfrac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}$	il profilo iniziale si divide in due onde che viaggiano in versi opposti
$\displaystyle \dfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(\xi)\,d\xi$	la velocità iniziale contribuisce tramite la sua media integrata sull’intervallo di influenza

Se $g=0$ , la soluzione è la sovrapposizione di due onde progressive di forma iniziale $f/2$ . Se $f=0$ , la soluzione nasce invece dall’impulso di velocità iniziale accumulato sull’intervallo raggiungibile.

Dominio di dipendenza

Il valore in $(x,t)$ dipende solo dai dati iniziali nell’intervallo

[x-ct,\;x+ct].

Questo intervallo è il dominio di dipendenza del punto $(x,t)$ sulla retta iniziale. I dati esterni non possono influenzare $u(x,t)$ prima che un’onda, viaggiando con velocità $c$ , abbia il tempo di arrivare.

Derivazione sintetica

Introducendo le variabili caratteristiche

\xi=x-ct, \qquad \eta=x+ct,

l’equazione delle onde si riduce alla forma

u_{\xi\eta}=0.

La soluzione generale è quindi

u(x,t)=\Phi(x-ct)+\Psi(x+ct).

Imponendo $u(x,0)=f(x)$ e $u_t(x,0)=g(x)$ si ottiene la formula di D’Alembert.

Quando si usa

Situazione	Nota
Retta infinita	la formula si applica direttamente
Corda finita	servono condizioni al contorno e riflessioni ai bordi
Dati iniziali regolari	la soluzione classica soddisfa l’equazione punto per punto
Dati meno regolari	la formula resta guida per soluzioni deboli o distribuzionali

Nelle applicazioni fisiche la formula chiarisce la differenza tra onde e fenomeni diffusivi: le onde trasportano informazione a velocità finita, mentre la diffusione del calore nel modello classico ha influenza immediata su tutto il dominio.