Distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta impiegata per modellare il numero di eventi che si verificano in un intervallo di tempo o spazio prefissato, supponendo che tali eventi avvengano con un tasso medio costante e in modo indipendente l’uno dall’altro.

Definizione

Una variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione di Poisson con parametro $\lambda > 0$ ($X \sim \text{Poiss}(\lambda)$) se la sua Funzione di Massa di Probabilità è: $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ per $k = 0, 1, 2, \dots$, dove $\lambda$ rappresenta il numero medio di eventi attesi nell’intervallo considerato.

Proprietà Fondamentali

1. Equidispersion: Una caratteristica unica della distribuzione di Poisson è che il Valore Atteso e la Varianza coincidono: $E[X] = \text{Var}(X) = \lambda$
2. Somma di Variabili: Se $X \sim \text{Poiss}(\lambda_1)$ e $Y \sim \text{Poiss}(\lambda_2)$ sono indipendenti, allora la loro somma segue una distribuzione di Poisson con parametro pari alla somma dei parametri: $X+Y \sim \text{Poiss}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
3. Approssimazione della Binomiale: La Poisson è spesso chiamata “legge degli eventi rari” perché approssima la Distribuzione Binomiale quando il numero di prove $n$ è molto grande e la probabilità di successo $p$ è molto piccola, con $np = \lambda$.

Significato Ingegneristico

• Teoria delle Code (Queuing Theory): È il modello standard per il processo di arrivo dei clienti in un sistema (processo di Poisson). In informatica, modella l’arrivo dei pacchetti a un router o le richieste a un server web.
• Affidabilità e Manutenzione: Modella il numero di guasti che colpiscono un sistema complesso in un dato periodo di tempo, quando i guasti sono dovuti a cause esterne casuali e indipendenti.
• Ingegneria del Traffico: Utilizzata per modellare il numero di veicoli che transitano attraverso un incrocio in un minuto o il numero di incidenti stradali in un tratto autostradale.
• Telecomunicazioni: Modella il rumore di sparo (shot noise) nei dispositivi elettronici e la distribuzione dei fotoni nei sistemi di comunicazione ottica.

Vedi anche: Distribuzione Binomiale, Distribuzione Esponenziale, Processo di Poisson.