Distribuzione di Bernoulli — ingegnerismo.it

La distribuzione di Bernoulli modella un singolo esperimento aleatorio che ha esattamente due esiti possibili, tradizionalmente chiamati “successo” ( $X=1$ ) e “insuccesso” ( $X=0$ ). È l’elemento costruttivo di base per molte altre distribuzioni più complesse.

Definizione

Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Bernoulli con parametro $p \in [0, 1]$ (indicata con $X \sim \text{Ber}(p)$ ) se la sua Funzione di Massa di Probabilità è:

$P(X = 1) = p$
$P(X = 0) = 1 - p = q$

In forma compatta: $p_X(k) = p^k (1-p)^{1-k}$ per $k \in \{0, 1\}$ .

Indicatori Statistici

Valore Atteso: $E[X] = p$
Varianza: $\text{Var}(X) = p(1-p)$

Significato Ingegneristico

Telecomunicazioni: È il modello di base per un bit trasmesso in un canale digitale. Il parametro $p$ può rappresentare la probabilità che il bit sia ricevuto correttamente o la probabilità di errore (BER).
Affidabilità: Modella lo stato di un componente in un istante fissato: funziona ( $1$ ) o è guasto ( $0$ ).
Informatica: Ogni variabile di tipo boolean in un algoritmo stocastico può essere vista come una variabile di Bernoulli.
Test di Qualità: Rappresenta l’esito di un test “passa/non passa” (go/no-go) su un singolo pezzo prodotto.

Vedi anche: Distribuzione Binomiale, Esperimento Aleatorio.