La distribuzione binomiale modella il numero di successi ottenuti in una sequenza di n esperimenti di Bernoulli indipendenti, ognuno con la stessa probabilità di successo p.
Definizione
Una variabile aleatoria X segue una distribuzione binomiale di parametri n e p (indicata con X \sim \text{Bin}(n, p)) se la sua Funzione di Massa di Probabilità è: P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} per k = 0, 1, 2, \dots, n, dove \binom{n}{k} è il Coefficiente Binomiale.
Indicatori Statistici
- Valore Atteso: E[X] = np
- Varianza: \text{Var}(X) = np(1-p)
Proprietà
- Per n=1, la binomiale si riduce alla Distribuzione di Bernoulli.
- Additività: La somma di due variabili binomiali indipendenti con lo stesso parametro p è ancora una binomiale: \text{Bin}(n_1, p) + \text{Bin}(n_2, p) = \text{Bin}(n_1+n_2, p).
- Approssimazione: Per n molto grande, la binomiale tende alla Distribuzione Normale (se np > 5 e n(1-p) > 5) o alla Distribuzione di Poisson (se n \to \infty e p \to 0 con np = \lambda).
Significato Ingegneristico
- Controllo di Processo: Calcolare la probabilità di trovare k pezzi difettosi in un campione di n pezzi, sapendo che la probabilità di difetto della linea è p.
- Affidabilità di Sistemi Ridondanti: In un sistema con n server identici e indipendenti, la binomiale permette di calcolare la probabilità che almeno k server siano attivi simultaneamente.
- Telecomunicazioni: Calcolo del numero di bit errati in un pacchetto dati di lunghezza n (fondamentale per la progettazione di codici a ripetizione o codici a blocchi).
Vedi anche: Distribuzione di Bernoulli, Coefficiente Binomiale, Distribuzione di Poisson.