Distribuzione Binomiale

La distribuzione binomiale modella il numero di successi ottenuti in una sequenza di $n$ esperimenti di Bernoulli indipendenti, ognuno con la stessa probabilità di successo $p$.

Definizione

Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione binomiale di parametri $n$ e $p$ (indicata con $X \sim \text{Bin}(n, p)$) se la sua Funzione di Massa di Probabilità è: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ per $k = 0, 1, 2, \dots, n$, dove $\binom{n}{k}$ è il Coefficiente Binomiale.

Indicatori Statistici

• Valore Atteso: $E[X] = np$
• Varianza: $\text{Var}(X) = np(1-p)$

Proprietà

• Per $n=1$, la binomiale si riduce alla Distribuzione di Bernoulli.
• Additività: La somma di due variabili binomiali indipendenti con lo stesso parametro $p$ è ancora una binomiale: $\text{Bin}(n_1, p) + \text{Bin}(n_2, p) = \text{Bin}(n_1+n_2, p)$.
• Approssimazione: Per $n$ molto grande, la binomiale tende alla Distribuzione Normale (se $np > 5$ e $n(1-p) > 5$) o alla Distribuzione di Poisson (se $n \to \infty$ e $p \to 0$ con $np = \lambda$).

Significato Ingegneristico

• Controllo di Processo: Calcolare la probabilità di trovare $k$ pezzi difettosi in un campione di $n$ pezzi, sapendo che la probabilità di difetto della linea è $p$.
• Affidabilità di Sistemi Ridondanti: In un sistema con $n$ server identici e indipendenti, la binomiale permette di calcolare la probabilità che almeno $k$ server siano attivi simultaneamente.
• Telecomunicazioni: Calcolo del numero di bit errati in un pacchetto dati di lunghezza $n$ (fondamentale per la progettazione di codici a ripetizione o codici a blocchi).

Vedi anche: Distribuzione di Bernoulli, Coefficiente Binomiale, Distribuzione di Poisson.