Distribuzione Binomiale Negativa

La distribuzione binomiale negativa (nota anche come distribuzione di Pascal) è una generalizzazione della Distribuzione Geometrica. Essa modella il numero di prove di Bernoulli necessarie per ottenere un numero totale di successi pari a $r$.

Definizione

Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione binomiale negativa con parametri $r$ (numero di successi desiderati) e $p$ (probabilità di successo) se la sua Funzione di Massa di Probabilità è: $P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}$ per $k = r, r+1, r+2, \dots$. L’intuizione è che l’ultimo evento (il $k$-esimo) deve essere necessariamente un successo, mentre nei precedenti $k-1$ tentativi devono essersi verificati esattamente $r-1$ successi in qualsiasi ordine.

Indicatori Statistici

• Valore Atteso: $E[X] = r/p$
• Varianza: $\text{Var}(X) = r(1-p)/p^2$

Significato Ingegneristico

• Pianificazione della Manutenzione: Se un pezzo di ricambio critico ha una probabilità $p$ di essere trovato in magazzino, la binomiale negativa modella il numero di ordini che un’azienda deve piazzare per garantirsi una scorta di $r$ pezzi.
• Ingegneria del Traffico: Modella il numero di veicoli che transitano sotto un portale prima che ne passino $r$ appartenenti a una determinata categoria (es. mezzi pesanti).
• Statistica delle Assicurazioni: Utilizzata per modellare il numero di sinistri in un periodo, specialmente quando la varianza è superiore alla media (fenomeno della sovradispersione), situazione in cui la distribuzione di Poisson risulterebbe inadeguata.

Vedi anche: Distribuzione Geometrica, Distribuzione di Poisson.