La distribuzione binomiale negativa (nota anche come distribuzione di Pascal) è una generalizzazione della Distribuzione Geometrica. Essa modella il numero di prove di Bernoulli necessarie per ottenere un numero totale di successi pari a r.
Definizione
Una variabile aleatoria X segue una distribuzione binomiale negativa con parametri r (numero di successi desiderati) e p (probabilità di successo) se la sua Funzione di Massa di Probabilità è: P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} per k = r, r+1, r+2, \dots. L’intuizione è che l’ultimo evento (il k-esimo) deve essere necessariamente un successo, mentre nei precedenti k-1 tentativi devono essersi verificati esattamente r-1 successi in qualsiasi ordine.
Indicatori Statistici
- Valore Atteso: E[X] = r/p
- Varianza: \text{Var}(X) = r(1-p)/p^2
Significato Ingegneristico
- Pianificazione della Manutenzione: Se un pezzo di ricambio critico ha una probabilità p di essere trovato in magazzino, la binomiale negativa modella il numero di ordini che un’azienda deve piazzare per garantirsi una scorta di r pezzi.
- Ingegneria del Traffico: Modella il numero di veicoli che transitano sotto un portale prima che ne passino r appartenenti a una determinata categoria (es. mezzi pesanti).
- Statistica delle Assicurazioni: Utilizzata per modellare il numero di sinistri in un periodo, specialmente quando la varianza è superiore alla media (fenomeno della sovradispersione), situazione in cui la distribuzione di Poisson risulterebbe inadeguata.
Vedi anche: Distribuzione Geometrica, Distribuzione di Poisson.