Birapporto

Il birapporto (o cross-ratio) di quattro punti collineari è il fondamentale invariante della geometria proiettiva: rimane costante sotto qualsiasi omografia. È la sola quantità numerica che la geometria proiettiva può assegnare a quattro punti su una retta.

Vedi anche: Geometria Proiettiva, Omografia.

Definizione su una Retta

Dati quattro punti distinti $A, B, C, D$ su una retta proiettiva, il birapporto è:

$(A, B; C, D) = \frac{AC \cdot BD}{BC \cdot AD}$

dove i prodotti sono rapporti orientati (con segno) di segmenti sulla retta. In coordinate affini $a, b, c, d$:

$(A, B; C, D) = \frac{(c - a)(d - b)}{(c - b)(d - a)}$

Invarianza Proiettiva

Il birapporto è invariante per omografie: se $f$ è un’omografia, allora $(f(A), f(B); f(C), f(D)) = (A, B; C, D)$.

È l’unico invariante proiettivo di quattro punti su una retta: due configurazioni di quattro punti sono proiettivamente equivalenti se e solo se hanno lo stesso birapporto.

Valori Speciali

Valore	Interpretazione
$(A,B;C,D) = -1$	$C$ e $D$ sono coniugati armonici rispetto ad $A, B$
$(A,B;C,D) = 0$	$C = A$ (coincidenza)
$(A,B;C,D) = 1$	$C = B$ (coincidenza)
$(A,B;C,D) = \infty$	$D = A$ (coincidenza)

La divisione armonica ($= -1$) è particolarmente importante: la quadrupla armonica $(A, B; C, D)$ con $C, D$ coniugati armonici rispetto a $A, B$ è il caso in cui $C$ divide $AB$ internamente e $D$ esternamente nello stesso rapporto.

Birapporto di Quattro Rette

Per quattro rette concorrenti in un punto $O$, il birapporto si definisce come il birapporto dei quattro punti in cui le rette intersecano una qualsiasi retta trasversale (il risultato è indipendente dalla trasversale scelta).

Permutazioni e Simmetrie

Le $4! = 24$ permutazioni dei quattro punti danno al più 6 valori distinti del birapporto, legati tra loro da:

$\lambda, \quad 1-\lambda, \quad \frac{1}{\lambda}, \quad \frac{1}{1-\lambda}, \quad \frac{\lambda}{\lambda-1}, \quad \frac{\lambda-1}{\lambda}$

Relazione con la Metrica

In geometria iperbolica (modello di Poincaré/Klein), la distanza iperbolica tra due punti è $d(A,B) = \frac{1}{2}|\ln(A,B;P,Q)|$ dove $P, Q$ sono i punti all’infinito sulla retta geodetica. Il birapporto «crea» la metrica a partire dalla sola struttura proiettiva.

Applicazioni ingegneristiche

• Visione artificiale: il birapporto di quattro punti collineari è invariante per proiezione prospettica; si usa per verificare la collinearità o per recuperare la geometria 3D da singole immagini senza calibrazione metrica.
• Fotogrammetria storica: il birapporto permette di misurare distanze reali su fotografie storiche (senza calibrazione della telecamera) identificando quattro punti collineari di lunghezza nota.
• Ottica geometrica: il birapporto dei fuochi coniugati di un sistema ottico è un invariante della trasmissione dei raggi (matrice ABCD per i sistemi parassiali).