Il birapporto (o cross-ratio) di quattro punti collineari è il fondamentale invariante della geometria proiettiva: rimane costante sotto qualsiasi omografia. È la sola quantità numerica che la geometria proiettiva può assegnare a quattro punti su una retta.
Vedi anche: Geometria Proiettiva, Omografia.
Definizione su una Retta
Dati quattro punti distinti A, B, C, D su una retta proiettiva, il birapporto è:
(A, B; C, D) = \frac{AC \cdot BD}{BC \cdot AD}
dove i prodotti sono rapporti orientati (con segno) di segmenti sulla retta. In coordinate affini a, b, c, d:
(A, B; C, D) = \frac{(c - a)(d - b)}{(c - b)(d - a)}
Invarianza Proiettiva
Il birapporto è invariante per omografie: se f è un’omografia, allora (f(A), f(B); f(C), f(D)) = (A, B; C, D).
È l’unico invariante proiettivo di quattro punti su una retta: due configurazioni di quattro punti sono proiettivamente equivalenti se e solo se hanno lo stesso birapporto.
Valori Speciali
| Valore | Interpretazione |
|---|---|
| (A,B;C,D) = -1 | C e D sono coniugati armonici rispetto ad A, B |
| (A,B;C,D) = 0 | C = A (coincidenza) |
| (A,B;C,D) = 1 | C = B (coincidenza) |
| (A,B;C,D) = \infty | D = A (coincidenza) |
La divisione armonica (= -1) è particolarmente importante: la quadrupla armonica (A, B; C, D) con C, D coniugati armonici rispetto a A, B è il caso in cui C divide AB internamente e D esternamente nello stesso rapporto.
Birapporto di Quattro Rette
Per quattro rette concorrenti in un punto O, il birapporto si definisce come il birapporto dei quattro punti in cui le rette intersecano una qualsiasi retta trasversale (il risultato è indipendente dalla trasversale scelta).
Permutazioni e Simmetrie
Le 4! = 24 permutazioni dei quattro punti danno al più 6 valori distinti del birapporto, legati tra loro da:
\lambda, \quad 1-\lambda, \quad \frac{1}{\lambda}, \quad \frac{1}{1-\lambda}, \quad \frac{\lambda}{\lambda-1}, \quad \frac{\lambda-1}{\lambda}
Relazione con la Metrica
In geometria iperbolica (modello di Poincaré/Klein), la distanza iperbolica tra due punti è d(A,B) = \frac{1}{2}|\ln(A,B;P,Q)| dove P, Q sono i punti all’infinito sulla retta geodetica. Il birapporto «crea» la metrica a partire dalla sola struttura proiettiva.
Applicazioni ingegneristiche
- Visione artificiale: il birapporto di quattro punti collineari è invariante per proiezione prospettica; si usa per verificare la collinearità o per recuperare la geometria 3D da singole immagini senza calibrazione metrica.
- Fotogrammetria storica: il birapporto permette di misurare distanze reali su fotografie storiche (senza calibrazione della telecamera) identificando quattro punti collineari di lunghezza nota.
- Ottica geometrica: il birapporto dei fuochi coniugati di un sistema ottico è un invariante della trasmissione dei raggi (matrice ABCD per i sistemi parassiali).