Il transitorio RC è la risposta temporale di un circuito con resistenza equivalente e condensatore dopo una commutazione, un gradino di tensione o un cambiamento delle condizioni iniziali. È un transitorio del primo ordine: il condensatore accumula energia nel campo elettrico e impedisce alla propria tensione di variare istantaneamente.
Nel modello lineare a parametri concentrati si riduce il circuito visto dal condensatore a una sorgente equivalente e a una resistenza equivalente. La grandezza di stato naturale è la tensione sul condensatore.
Modello del primo ordine
Per un circuito RC serie in carica, o per il circuito equivalente di Thevenin visto dal condensatore, l’equazione differenziale è:
La costante di tempo è:
Più grande è R_{eq}, più lentamente il condensatore si carica o si scarica; più grande è C, maggiore è la carica necessaria per modificare la tensione. Dopo circa 5\tau la parte esponenziale è in genere trascurabile negli esercizi e nelle stime preliminari.
| Grandezza | Formula | Lettura operativa |
|---|---|---|
| Costante di tempo | \displaystyle \tau=R_{eq}C | scala temporale del transitorio |
| Equazione omogenea | \displaystyle R_{eq}C\dfrac{dv_C}{dt}+v_C=0 | descrive la scarica naturale |
| Soluzione naturale | \displaystyle v_C(t)=V_0e^{-t/\tau} | tensione che decade senza sorgente attiva |
| Regime continuo | \displaystyle \dfrac{dv_C}{dt}=0 | il condensatore ideale si comporta come un circuito aperto |
Continuità della tensione
La tensione sul condensatore non può saltare:
La ragione è costitutiva:
Una variazione istantanea di tensione richiederebbe una corrente impulsiva idealizzata. Nella pratica il limite è fissato da resistenze parassite, induttanze, corrente massima della sorgente e resistenza equivalente del percorso di carica.
| Istante | Tensione sul condensatore | Corrente nel condensatore |
|---|---|---|
| Prima della commutazione | \displaystyle v_C(0^-) | dipende dal vecchio circuito |
| Subito dopo | \displaystyle v_C(0^+)=v_C(0^-) | può cambiare bruscamente |
| A regime finale in continua | \displaystyle v_C(\infty) | \displaystyle i_C(\infty)=0 |
Risposta generale
La forma più robusta per calcolare un transitorio RC è:
Questa espressione separa tre dati: valore iniziale, valore finale e velocità del transitorio. È spesso preferibile alla memorizzazione di formule isolate, perché funziona sia per carica sia per scarica e anche quando il condensatore parte da una tensione non nulla.
| Dato da determinare | Come si trova | Perché serve |
|---|---|---|
| \displaystyle v_C(0^+) | continuità: \displaystyle v_C(0^+)=v_C(0^-) | fissa la condizione iniziale |
| \displaystyle v_C(\infty) | circuito finale in continua, condensatore aperto | fissa il valore di arrivo |
| \displaystyle R_{eq} | resistenza vista dal condensatore con sorgenti indipendenti spente | fissa \displaystyle \tau=R_{eq}C |
Carica da un gradino
Per un condensatore inizialmente scarico, collegato a una sorgente continua V_s attraverso una resistenza R, si ha:
La corrente di carica è massima all’inizio e poi decade:
All’istante iniziale il condensatore scarico si comporta come un corto circuito ideale rispetto alla variazione: la tensione ai suoi capi è nulla e la corrente è limitata da R. A regime continuo il condensatore ideale è aperto, quindi la corrente si annulla e la tensione tende a V_s.
| Tempo | Tensione sul condensatore | Interpretazione |
|---|---|---|
| \displaystyle t=0^+ | \displaystyle v_C(0^+)=0 | condensatore inizialmente scarico |
| \displaystyle t=\tau | \displaystyle v_C(\tau)=0{,}632\,V_s | è compiuto circa il 63,2% della variazione |
| \displaystyle t=3\tau | \displaystyle v_C(3\tau)\approx0{,}950\,V_s | transitorio quasi concluso |
| \displaystyle t=5\tau | \displaystyle v_C(5\tau)\approx0{,}993\,V_s | regime pratico per molti calcoli |
Scarica
Se un condensatore inizialmente carico a V_0 viene collegato a una resistenza R, la tensione decade secondo:
Con la convenzione passiva sulla resistenza, la potenza dissipata è:
L’energia inizialmente accumulata nel campo elettrico vale:
La scarica non distrugge istantaneamente l’energia: la trasferisce alla resistenza, dove viene dissipata per effetto Joule. Nei circuiti reali contano anche resistenza serie equivalente del condensatore, corrente impulsiva ammissibile, tensione massima e dissipazione termica.
Procedura di calcolo
Per risolvere un transitorio RC conviene seguire sempre lo stesso schema.
| Passo | Formula o controllo | Scopo |
|---|---|---|
| 1. Stato iniziale | \displaystyle v_C(0^+)=v_C(0^-) | fissare la condizione iniziale corretta |
| 2. Regime finale | \displaystyle v_C(\infty) con il condensatore aperto in continua | determinare il valore verso cui evolve la tensione |
| 3. Resistenza vista | \displaystyle R_{eq} con sorgenti indipendenti spente | calcolare la costante di tempo |
| 4. Costante di tempo | \displaystyle \tau=R_{eq}C | stabilire la scala temporale |
| 5. Risposta completa | \displaystyle v_C(t)=v_C(\infty)+\bigl[v_C(0^+)-v_C(\infty)\bigr]e^{-t/\tau} | comporre naturale e forzata |
| 6. Corrente | \displaystyle i_C(t)=C\dfrac{dv_C}{dt} | ricavare la corrente dopo la tensione |
Errori comuni
Gli errori più frequenti sono imporre v_C(0^+)=0 anche quando il condensatore era già carico; calcolare R_{eq} guardando la sorgente attiva invece di spegnere le sorgenti indipendenti; scambiare il comportamento iniziale e finale del condensatore; dimenticare che la corrente può cambiare bruscamente anche se la tensione è continua.
Un altro errore operativo è usare la regola dei 5\tau come legge assoluta. È una convenzione pratica: per strumenti di misura, convertitori, temporizzatori e filtri può servire un criterio diverso, fissato dalla tolleranza ammessa e dal rumore del sistema.
Collegamenti
Per il quadro completo dei circuiti del primo ordine si vedano il formulario di elettrotecnica, la voce condensatore e il confronto con il transitorio RL. Il circuito RLC estende il problema al secondo ordine. Per esercitarsi: transitori RL, RC e RLC, circuiti RC e transitori e condensatori e induttori.