Indici di Miller — ingegnerismo.it

Gli indici di Miller sono una notazione intera usata in cristallografia per indicare l’orientazione di piani cristallografici e direzioni in un reticolo. Per un piano, la terna $(hkl)$ non identifica un singolo piano isolato nello spazio, ma una famiglia di piani paralleli con la stessa orientazione.

La costruzione è più chiara se le intercette del piano con gli assi cristallografici sono espresse in unità dei parametri di cella $a$ , $b$ , $c$ . Se il piano intercetta gli assi nei punti $pa$ , $qb$ , $rc$ , allora gli indici si ottengono prendendo i reciproci e riducendo ai minimi interi:

h:k:l=\frac{1}{p}:\frac{1}{q}:\frac{1}{r}.

Un’intercetta infinita significa che il piano è parallelo a quell’asse; il reciproco di $\infty$ è quindi $0$ . Per questo un piano parallelo all’asse $z$ avrà terzo indice nullo.

Procedura operativa

Passo	Operazione	Nota
1	Individuare le intercette $pa$ , $qb$ , $rc$	Se il piano passa per l’origine, si sceglie un piano parallelo equivalente.
2	Normalizzare rispetto ad $a$ , $b$ , $c$	Le intercette diventano $p$ , $q$ , $r$ in coordinate frazionarie.
3	Prendere i reciproci	Si calcola $\displaystyle \dfrac{1}{p}:\dfrac{1}{q}:\dfrac{1}{r}$ .
4	Eliminare i denominatori	La terna finale deve essere intera e ridotta ai minimi termini.

Esempi essenziali:

Intercette normalizzate	Reciproci	Indici
$\displaystyle (1,1,\infty)$	$\displaystyle 1:1:0$	$\displaystyle (110)$
$\displaystyle (1,\infty,\infty)$	$\displaystyle 1:0:0$	$\displaystyle (100)$
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2},1,\infty\right)$	$\displaystyle 2:1:0$	$\displaystyle (210)$
$\displaystyle (-1,1,\infty)$	$\displaystyle -1:1:0$	$\displaystyle (\bar{1}10)$

Gli indici negativi si scrivono con una barra sopra la cifra: $(\bar{1}10)$ indica un’intercetta negativa sul primo asse cristallografico.

Notazione

Simbolo	Lettura	Significato
$\displaystyle (hkl)$	indici tondi	Piano o famiglia di piani paralleli con orientazione specificata.
$\displaystyle \{hkl\}$	parentesi graffe	Famiglia di piani equivalenti per simmetria cristallina.
$\displaystyle [uvw]$	parentesi quadre	Direzione cristallografica specifica.
$\displaystyle \langle uvw\rangle$	parentesi angolari	Famiglia di direzioni equivalenti per simmetria.

In un reticolo cubico, la direzione $[hkl]$ è normale al piano $(hkl)$ . Questa coincidenza è molto comoda, ma non va estesa senza cautela ai reticoli non cubici: quando gli assi non sono ortogonali o i parametri di cella sono diversi, la geometria metrica del reticolo modifica il rapporto tra piani e direzioni.

Distanza interplanare

Per celle cubiche di parametro reticolare $a$ , la distanza tra piani successivi della famiglia $(hkl)$ è:

d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}.

La formula mostra perché $(100)$ e $(200)$ non sono equivalenti nella diffrattometria a raggi X: hanno la stessa orientazione, ma distanza interplanare diversa. In particolare:

d_{200}=\frac{a}{2}, \qquad d_{100}=a.

Gli indici di Miller sono quindi una notazione geometrica, ma diventano anche uno strumento sperimentale quando sono combinati con la legge di Bragg. Dai picchi di diffrazione si ricava $d_{hkl}$ e, per strutture note, si assegnano gli indici ai piani responsabili dei massimi osservati.

Vedi anche: Piani cristallografici, Reticolo cristallino, Legge di Bragg, Diffrattometria a raggi X.