I piani cristallografici sono insiemi regolari di piani paralleli che attraversano un reticolo cristallino. Servono a descrivere orientazioni preferenziali, superfici di taglio, sfaldature, direzioni di crescita e piani che producono massimi nella diffrattometria a raggi X.
Una famiglia di piani è indicata dagli indici di Miller (hkl). In coordinate frazionarie della cella, un piano della famiglia può essere rappresentato nella forma:
dove x, y, z sono coordinate espresse rispetto agli assi cristallografici e m è un intero. Cambiando m si ottengono piani paralleli della stessa famiglia.
Piano, famiglia e orientazione
| Concetto | Significato | Esempio |
|---|---|---|
| Piano cristallografico | Piano reticolare con orientazione definita. | \displaystyle (100) |
| Famiglia parallela | Insieme di piani con stessa orientazione e diversa posizione. | \displaystyle hx+ky+lz=m con m\in\mathbb{Z} |
| Famiglia equivalente | Insieme di piani equivalenti per simmetria del cristallo. | \displaystyle \{100\} in un cubico |
| Distanza interplanare | Separazione tra due piani paralleli consecutivi. | \displaystyle d_{hkl} |
La differenza tra piano e famiglia è importante: in cristallografia si parla spesso di "(hkl)" anche quando il fenomeno fisico riguarda l’intera famiglia di piani paralleli, non un solo piano geometrico.
Distanza interplanare
La distanza interplanare d_{hkl} misura quanto sono separati due piani successivi della stessa famiglia. Per un cristallo cubico di parametro reticolare a:
Questa relazione è centrale perché collega la geometria del reticolo alle posizioni dei picchi di diffrazione. Inserendo d_{hkl} nella legge di Bragg,
si ottiene il legame tra indici del piano e angolo di diffrazione.
Interpretazione fisica
Piani con indici piccoli, come (100), (110) o (111), sono spesso più facili da interpretare perché intercettano la cella in modo semplice. Indici più grandi corrispondono a famiglie di piani più ravvicinate e quindi a valori di d_{hkl} minori.
Nel caso cubico, la direzione [hkl] è perpendicolare al piano (hkl). In reticoli non cubici questa identificazione non è automaticamente valida: la normalità dipende dalla metrica della cella e non solo dalla terna di interi.
Uso nei materiali
| Contesto | Che cosa indicano i piani |
|---|---|
| Diffrazione X | Le famiglie (hkl) responsabili dei picchi osservati. |
| Scienza dei materiali | Orientazioni preferenziali, texture e direzioni di crescita. |
| Frattura e sfaldatura | Piani lungo cui la struttura può separarsi più facilmente. |
| Cristalli singoli | Orientazione di superfici tagliate o lucidate. |
L’errore più comune è trattare gli indici di Miller come coordinate di un punto. Non sono coordinate puntuali: descrivono orientazioni di piani o direzioni reticolari.
Vedi anche: Indici di Miller, Reticolo cristallino, Legge di Bragg, Diffrattometria a raggi X.