Nelle telecomunicazioni ogni segnale si studia nel dominio della frequenza: l’analisi di Fourier ne rivela lo spettro, cioè il contenuto in frequenza. Da qui si determinano banda occupata, potenza ed energia. Questa scheda allena le grandezze fondamentali dei segnali e la lettura dello spettro.
Distinzione di base: segnali di energia (finita, transitori) e segnali di potenza (periodici, durata infinita).
1. Potenza di un segnale sinusoidale
Esercizio. Un segnale x(t)=A\cos(2\pi f t) con A=4\ \text{V} su carico 1\ \Omega. Calcolare la potenza media.
La potenza media di una sinusoide è metà del quadrato dell’ampiezza:
P=\dfrac{A^2}{2}=\dfrac{4^2}{2}=\dfrac{16}{2}=8\ \text{W}.
Equivalente: il valore efficace è A/\sqrt2=2{,}83\ \text{V}, e P=V_{eff}^2=8\ \text{W}. I segnali periodici hanno potenza finita (ma energia infinita).
2. Energia di un impulso rettangolare
Esercizio. Un impulso rettangolare di ampiezza A=2\ \text{V} e durata \tau=3\ \text{ms} (su 1\ \Omega). Calcolare l’energia.
L’energia è l’integrale del quadrato:
E=\int_0^\tau A^2\,dt=A^2\tau=4\times3\times10^{-3}=12\times10^{-3}=12\ \text{mJ}.
I segnali a durata finita sono segnali di energia: energia finita, potenza media nulla.
3. Componente continua di un’onda
Esercizio. Un’onda quadra oscilla tra 0\ \text{V} e 6\ \text{V} con duty cycle 50\%. Calcolare la componente continua (valor medio).
La componente continua è la media nel periodo:
x_{dc}=\dfrac{1}{T}\int_0^T x(t)\,dt=6\times0{,}5=3\ \text{V}.
È il termine a_0 della serie di Fourier: lo spostamento dello spettro alla frequenza zero. Un’onda quadra simmetrica attorno a zero avrebbe x_{dc}=0.
4. Spettro di un’onda quadra
Esercizio. Quali armoniche contiene un’onda quadra simmetrica di frequenza fondamentale f_0=1\ \text{kHz}?
La serie di Fourier di un’onda quadra simmetrica contiene solo le armoniche dispari, con ampiezza decrescente come 1/n:
x(t)=\dfrac{4A}{\pi}\left(\sin\omega_0 t+\dfrac{1}{3}\sin3\omega_0 t+\dfrac{1}{5}\sin5\omega_0 t+\dots\right).
Frequenze presenti: 1, 3, 5, 7\ \text{kHz}\dots Le armoniche pari sono assenti per simmetria. Lo spettro è discreto (righe) perché il segnale è periodico.
5. Banda e tempo di salita
Esercizio. Un sistema ha banda B=10\ \text{MHz}. Stimare il tempo di salita minimo di un fronte che può trasmettere.
Banda e tempo di salita sono legati dalla relazione approssimata:
t_r\approx\dfrac{0{,}35}{B}=\dfrac{0{,}35}{10\times10^{6}}=35\times10^{-9}\ \text{s}=35\ \text{ns}.
Più larga la banda, più ripidi i fronti trasmissibili. È il limite fondamentale: un canale a banda stretta “arrotonda” gli impulsi veloci.
6. Trasformata di un impulso e banda
Esercizio. Un impulso rettangolare di durata \tau=1\ \mu\text{s} ha spettro a sinc. Stimare la larghezza del lobo principale.
La trasformata di un rettangolo è una sinc con primo zero a 1/\tau:
B\approx\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{1\times10^{-6}}=1\ \text{MHz}.
Esiste un legame inverso durata-banda: impulsi brevi occupano banda larga. È il principio di indeterminazione tempo-frequenza, alla base del compromesso nei sistemi di trasmissione.
7. Spettro di una sinusoide reale
Esercizio. Scrivere lo spettro ideale di:
Usiamo l’identità di Eulero:
Quindi:
Nel dominio della frequenza compaiono due righe:
Risultato:
Lo spettro è simmetrico perché il segnale nel tempo è reale. Nei grafici monolateri si mostra spesso solo la riga positiva, ma la rappresentazione bilatera contiene entrambe.
8. Potenza in dBm
Esercizio. Un segnale ha valore efficace V_{rms}=1\ \text{V} su carico R=50\ \Omega. Calcolare la potenza in watt e in dBm.
La potenza è:
Sostituendo:
La potenza in dBm è riferita a 1\ \text{mW}:
Quindi:
Risultato:
Nelle telecomunicazioni i dBm sono più pratici dei watt perché guadagni e attenuazioni si sommano in dB lungo la catena di trasmissione.
9. Filtro passa-basso e armoniche di un’onda quadra
Esercizio. Un’onda quadra simmetrica ha frequenza fondamentale f_0=1\ \text{kHz}. Un filtro passa-basso ideale taglia a 4\ \text{kHz}. Quali armoniche passano?
L’onda quadra simmetrica contiene solo armoniche dispari:
Con f_0=1\ \text{kHz}:
Il filtro passa le componenti fino a 4\ \text{kHz}. Quindi passano:
La quinta armonica, a 5\ \text{kHz}, viene eliminata. Il segnale filtrato resta periodico, ma gli spigoli si arrotondano perché le armoniche alte ricostruiscono i fronti rapidi.
10. Parseval per una serie di Fourier
Esercizio. Un segnale periodico ha coefficienti sinusoidali:
Calcolare la potenza media su 1\ \Omega.
Le sinusoidi a frequenze diverse sono ortogonali. La potenza media di ogni termine sinusoidale di ampiezza A è:
Quindi:
Risultato:
Questo è un uso operativo di Parseval: la potenza totale nel tempo coincide con la somma delle potenze delle componenti ortogonali nello spettro.
11. Duty cycle e componente continua
Esercizio. Un impulso periodico vale A=5\ \text{V} per il 20\% del periodo e 0 per il restante 80\%. Calcolare valore medio e potenza media su 1\ \Omega.
Il duty cycle è:
Il valore medio è:
La potenza media è la media di x^2(t):
Risultato:
Non bisogna elevare al quadrato il valore medio: la potenza media è la media del quadrato, non il quadrato della media.
12. Durata-banda in un requisito di progetto
Esercizio. Un sistema deve trasmettere impulsi di durata \tau=100\ \text{ns}. Stimare l’ordine di grandezza della banda richiesta.
Per un impulso rettangolare, il primo zero della sinc è circa:
Con:
si ottiene:
Risultato:
La stima non sostituisce un progetto di filtro, ma dà subito l’ordine di grandezza: impulsi da nanosecondi richiedono bande da MHz o GHz.
Errori comuni
- Confondere segnali di energia e di potenza. I periodici hanno potenza finita ed energia infinita; i transitori il contrario. Le formule (somma vs media) cambiano.
- Dimenticare il fattore 1/2 nella potenza sinusoidale. P=A^2/2 (non A^2): deriva dal valore efficace A/\sqrt2.
- Attribuire armoniche pari all’onda quadra simmetrica. Contiene solo le dispari; le pari compaiono solo con asimmetria.
- Ignorare il legame durata-banda. Impulsi brevi richiedono banda larga: progettare un canale stretto per impulsi veloci li distorce.
- Confondere valore medio e potenza. La potenza media dipende dalla media di x^2(t), non dal quadrato della componente continua.
- Dimenticare lo spettro bilatero. Un segnale reale ha componenti simmetriche a frequenze positive e negative.