Ogni canale di trasmissione è limitato dal rumore: il teorema di Shannon fissa il massimo bit-rate trasmissibile senza errori in funzione di banda e rapporto segnale-rumore. Il bilancio di collegamento (link budget) somma guadagni e perdite in decibel per verificare che il segnale arrivi sopra la soglia. Questa scheda allena entrambi, il cuore del dimensionamento dei sistemi radio.
1. Rapporto segnale-rumore in decibel
Esercizio. Un ricevitore ha potenza di segnale P_s=2\ \text{mW} e potenza di rumore P_n=8\ \mu\text{W}. Calcolare l’SNR in decibel.
SNR_{dB}=10\log_{10}\dfrac{P_s}{P_n}=10\log_{10}\dfrac{2\times10^{-3}}{8\times10^{-6}}=10\log_{10}(250)=10\times2{,}40=24\ \text{dB}.
L’SNR usa 10\log (rapporto di potenze). Un SNR alto significa segnale ben distinguibile dal rumore.
2. Capacità di Shannon
Esercizio. Un canale ha banda B=3\ \text{kHz} e SNR=30\ \text{dB}. Calcolare la capacità massima.
Passo 1 — SNR lineare: SNR=10^{30/10}=10^3=1000.
Passo 2 — formula di Shannon:
C=B\log_2(1+SNR)=3000\times\log_2(1001)=3000\times9{,}97=29\,900\ \text{bit/s}\approx30\ \text{kbit/s}.
È il limite teorico (canale telefonico): nessuna modulazione può superarlo senza errori. I modem analogici si fermavano infatti attorno a 33\,kbit/s.
3. Effetto della banda sulla capacità
Esercizio. Raddoppiando la banda a B=6\ \text{kHz} (stesso SNR), come cambia la capacità?
La capacità è lineare nella banda:
C=6000\times\log_2(1001)=6000\times9{,}97=59\,800\ \text{bit/s}\approx60\ \text{kbit/s}.
Raddoppiando B raddoppia C. La banda è la risorsa più “efficiente”: cresce C linearmente, mentre l’SNR entra solo nel logaritmo.
4. Effetto dell’SNR sulla capacità
Esercizio. Per il canale del punto 2 (B=3\ \text{kHz}), quanto serve aumentare l’SNR per raddoppiare la capacità?
Per raddoppiare C a banda fissa serve \log_2(1+SNR) doppio. Da \approx10 bit/s/Hz a 20:
\log_2(1+SNR')=20\ \Rightarrow\ SNR'\approx2^{20}=10^6\ (60\ \text{dB}).
Servono 60\,dB invece di 30\,dB: l’SNR deve crescere di 30 dB (fattore 1000) per raddoppiare la capacità. Conferma che agire sulla banda è molto più conveniente.
5. Potenza di rumore termico
Esercizio. Calcolare la potenza di rumore termico in una banda B=1\ \text{MHz} a temperatura ambiente (T=290\ \text{K}, k=1{,}38\times10^{-23}\ \text{J/K}).
P_n=kTB=1{,}38\times10^{-23}\times290\times10^{6}=4{,}0\times10^{-15}\ \text{W}.
In decibel rispetto a 1\ \text{mW} (dBm):
P_{n,dBm}=10\log_{10}\dfrac{4{,}0\times10^{-15}}{10^{-3}}=10\log_{10}(4{,}0\times10^{-12})=-114\ \text{dBm}.
Il rumore termico (-114\,dBm in 1\,MHz) è il pavimento di rumore: nessun ricevitore può scendere sotto. Più larga la banda, più rumore raccolto.
6. Bilancio di collegamento radio
Esercizio. Link radio: potenza trasmessa P_t=20\ \text{dBm}, guadagno antenna TX G_t=15\ \text{dB}, perdita di tratta L=120\ \text{dB}, guadagno antenna RX G_r=15\ \text{dB}. Calcolare la potenza ricevuta.
Il bilancio somma guadagni e sottrae perdite, tutto in decibel:
P_r=P_t+G_t-L+G_r=20+15-120+15=-70\ \text{dBm}.
La potenza ricevuta è -70\,dBm. Lavorare in decibel trasforma i prodotti in somme: il link budget diventa una semplice addizione algebrica.
7. Margine di collegamento
Esercizio. Se la sensibilità del ricevitore è -90\ \text{dBm}, qual è il margine di collegamento del link del punto 6?
Il margine è la differenza tra potenza ricevuta e sensibilità:
M=P_r-P_{sens}=-70-(-90)=20\ \text{dB}.
Margine di 20\,dB: il segnale arriva ampiamente sopra la soglia, con riserva per dissolvenze (fading), pioggia o disallineamento. Un margine positivo è la condizione perché il collegamento funzioni; tipicamente si progetta per \ge10\,dB.
8. Cifra di rumore e rumore equivalente
Esercizio. Un ricevitore lavora in banda B=1\ \text{MHz} a temperatura ambiente. Il rumore termico ideale è -114\ \text{dBm} dal punto 5. Se la cifra di rumore è NF=6\ \text{dB}, qual è il rumore equivalente all’ingresso?
La cifra di rumore si somma in decibel al rumore termico:
La cifra di rumore rappresenta il degrado introdotto dal ricevitore reale. Anche con antenna perfetta, amplificatori, mixer e filtri aggiungono rumore equivalente e peggiorano l’SNR disponibile.
9. Sensibilità del ricevitore
Esercizio. Un sistema richiede SNR_{min}=10\ \text{dB} al demodulatore. Con rumore equivalente N=-108\ \text{dBm}, calcolare la sensibilità minima del ricevitore.
La sensibilità è la minima potenza di segnale che garantisce l’SNR richiesto:
Se il segnale ricevuto è maggiore di -98\ \text{dBm}, il ricevitore ha almeno 10 dB di SNR. La sensibilità dipende da banda, cifra di rumore e modulazione: non è un numero assoluto del solo hardware.
10. Perdita di spazio libero
Esercizio. Calcolare la perdita di spazio libero a f=2{,}4\ \text{GHz} su distanza d=1\ \text{km} usando L_{fs}=32{,}44+20\log_{10}(f_{MHz})+20\log_{10}(d_{km}).
Con f=2400\ \text{MHz} e d=1\ \text{km}:
Poiché \log_{10}(2400)=3{,}380:
La perdita di tratta cresce con il logaritmo di frequenza e distanza: raddoppiare la distanza aggiunge circa 6 dB, non raddoppia semplicemente la perdita in dB.
11. Link budget completo con sensibilità
Esercizio. Un link a 2{,}4\ \text{GHz} su 1\ \text{km} usa P_t=10\ \text{dBm}, antenne da G_t=G_r=8\ \text{dBi} e perdite varie L_{var}=3\ \text{dB}. Con sensibilità P_{sens}=-98\ \text{dBm}, calcolare potenza ricevuta e margine.
Il margine:
Il collegamento è ben chiuso in spazio libero. In un progetto reale quel margine deve assorbire fading, disallineamento, pioggia, ostacoli, perdite dei cavi e invecchiamento degli apparati.
Errori comuni
- Usare 20\log per le potenze. Per rapporti di potenza (SNR, link budget) si usa 10\log; 20\log è per le ampiezze/tensioni.
- Trattare l’SNR di Shannon in decibel. Nella formula C=B\log_2(1+SNR) l’SNR va in scala lineare, non in dB.
- Dimenticare kTB come pavimento. Il rumore termico è ineliminabile: la sensibilità del ricevitore non può scendere sotto kTB (più la cifra di rumore).
- Sbagliare i segni nel link budget. I guadagni si sommano, le perdite si sottraggono: un errore di segno sballa tutto il bilancio.
- Dimenticare la cifra di rumore. Il rumore reale del ricevitore è maggiore di kTB: la sensibilità va calcolata con NF.
- Usare la formula FSPL con unità sbagliate. La costante 32{,}44 vale per MHz e km; con Hz e metri serve un’altra forma.