Principio di funzionamento del GPS

Il GPS (Global Positioning System) è un sistema di navigazione satellitare che permette a un ricevitore di stimare posizione e tempo misurando la distanza apparente da più satelliti. Il principio non è quello di “guardare” dove si trova il telefono, ma di risolvere un problema geometrico e temporale: se conosco la posizione dei satelliti e il tempo impiegato dai loro segnali radio per arrivare fino a me, posso ricavare la mia posizione.

La grandezza fondamentale è il tempo di volo del segnale. Un’onda elettromagnetica viaggia, nel vuoto, alla velocità della luce $c$. Se un satellite trasmette un codice temporizzato e il ricevitore lo riconosce con un ritardo $\Delta t$, la distanza stimata è:

$$\rho = c \Delta t$$

Questa distanza è chiamata pseudodistanza perché include l’errore dell’orologio del ricevitore. Gli orologi atomici dei satelliti sono estremamente stabili; quello dello smartphone no. Il ricevitore deve quindi stimare simultaneamente tre coordinate spaziali e un errore temporale.

Trilaterazione

Ogni satellite definisce idealmente una sfera centrata sulla propria posizione: il ricevitore si trova su quella sfera se la distanza misurata è corretta. Con tre sfere, in geometria ideale, si può ricavare un punto nello spazio. In pratica serve almeno un quarto satellite perché l’errore di clock del ricevitore introduce un’ulteriore incognita.

Il problema può essere espresso come un sistema di equazioni:

$$(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2 = c^2(t_r - t_i - \delta t)^2$$

dove $(x_i,y_i,z_i)$ è la posizione del satellite $i$, $t_i$ il tempo di trasmissione, $t_r$ il tempo di ricezione e $\delta t$ l’errore dell’orologio del ricevitore. Risolvendo il sistema per più satelliti, il ricevitore ottiene posizione e correzione temporale.

Segnali e correzioni

I satelliti trasmettono codici pseudocasuali che permettono al ricevitore di riconoscere quale satellite sta ascoltando e di stimare con precisione il ritardo. Nel segnale sono incluse anche informazioni orbitali, dette effemeridi, necessarie per conoscere la posizione del satellite al momento della trasmissione.

La misura non è mai perfetta. Gli errori principali derivano da:

• ritardi nella ionosfera e nella troposfera;
• riflessioni su edifici e superfici, dette multipath;
• geometria sfavorevole dei satelliti;
• imprecisioni orbitali;
• rumore del ricevitore;
• correzioni relativistiche sugli orologi.

La relatività non è un dettaglio ornamentale: gli orologi sui satelliti subiscono effetti dovuti alla velocità orbitale e al diverso potenziale gravitazionale. Senza correzioni relativistiche, l’errore crescerebbe rapidamente fino a rendere il sistema inutilizzabile.

Dal GPS al GNSS

Il GPS statunitense è una delle costellazioni GNSS. Esistono anche Galileo, GLONASS, BeiDou e sistemi regionali. I ricevitori moderni combinano più costellazioni e più frequenze per migliorare disponibilità, precisione e robustezza.

Il principio di funzionamento resta lo stesso: trasformare segnali radio temporizzati in pseudodistanze, correggere gli errori più importanti e risolvere un problema di navigazione nello spazio e nel tempo.