Le modulazioni digitali trasmettono bit raggruppandoli in simboli, ciascuno rappresentato da uno stato della portante (ampiezza, fase, frequenza). Aumentando gli stati per simbolo si trasmettono più bit nella stessa banda, ma cresce la sensibilità al rumore. Questa scheda allena bit-rate, efficienza spettrale e compromesso banda-robustezza.
Relazione bit/simboli: con M stati, ogni simbolo porta \;k=\log_2 M\; bit.
1. Bit per simbolo
Esercizio. Una modulazione 16-QAM usa M=16 stati. Quanti bit trasporta ogni simbolo?
k=\log_2 M=\log_2 16=4\ \text{bit/simbolo}.
Ogni simbolo della costellazione 16-QAM codifica 4 bit. Raddoppiando gli stati (M\to2M) si aggiunge 1 bit per simbolo.
2. Bit-rate da symbol-rate
Esercizio. Un sistema 16-QAM ha symbol-rate R_s=1\ \text{Msimbolo/s}. Calcolare il bit-rate.
R_b=R_s\times k=R_s\log_2 M=1\times10^6\times4=4\ \text{Mbit/s}.
A parità di symbol-rate (e quindi di banda), più stati = più bit/s. La 16-QAM quadruplica il bit-rate rispetto a una modulazione binaria.
3. Banda di Nyquist
Esercizio. Per trasmettere R_s=2\ \text{Msimbolo/s}, qual è la banda minima teorica (Nyquist)?
Il criterio di Nyquist per la trasmissione dà la banda minima:
B_{min}=\dfrac{R_s}{2}=\dfrac{2\times10^6}{2}=1\ \text{MHz}.
Con filtro a coseno rialzato e fattore di roll-off \alpha, la banda reale è B=\dfrac{R_s}{2}(1+\alpha): il roll-off allarga leggermente la banda per realizzabilità.
4. Efficienza spettrale
Esercizio. Calcolare l’efficienza spettrale della 16-QAM con symbol-rate R_s e banda B=R_s/2 (Nyquist ideale).
L’efficienza spettrale è bit/s per Hz:
\eta=\dfrac{R_b}{B}=\dfrac{R_s\log_2 M}{R_s/2}=2\log_2 M=2\times4=8\ \text{bit/s/Hz}.
La 16-QAM raggiunge 8\,bit/s/Hz (ideale): più stati ⇒ più efficienza spettrale. Il prezzo è la maggiore potenza richiesta per distinguere gli stati nel rumore.
5. Confronto tra schemi
Esercizio. Confrontare bit/simbolo e robustezza di BPSK, QPSK, 16-QAM.
Salendo nella costellazione si guadagna efficienza spettrale ma i punti si avvicinano: serve più SNR per la stessa probabilità di errore. La scelta dello schema bilancia velocità e qualità del canale.
6. Energia per bit e SNR
Esercizio. Un sistema richiede E_b/N_0=10\ \text{dB} per la qualità voluta. Esprimere il rapporto in scala lineare.
La conversione da decibel a lineare:
\dfrac{E_b}{N_0}=10^{10/10}=10^{1}=10.
E_b/N_0 (energia per bit su densità di rumore) è la figura di merito universale per confrontare modulazioni digitali, indipendente da banda e bit-rate. A parità di E_b/N_0, schemi più densi (16-QAM) hanno probabilità d’errore maggiore della BPSK.
7. Banda con roll-off
Esercizio. Un sistema QPSK trasmette a R_s=4\ \text{Msimbolo/s} con filtro a coseno rialzato di roll-off \alpha=0{,}25. Calcolare la banda base occupata.
La banda di Nyquist ideale è:
Con roll-off:
Sostituendo:
Risultato:
Il roll-off rende il filtro realizzabile e riduce l’interferenza intersimbolica, ma allarga la banda rispetto al limite ideale.
8. Bit-rate e banda per 64-QAM
Esercizio. Un collegamento usa 64-QAM con R_s=2\ \text{Msimbolo/s} e roll-off \alpha=0{,}5. Calcolare bit-rate e banda base.
Per 64-QAM:
Il bit-rate è:
La banda base con roll-off è:
L’efficienza spettrale in banda base è:
Il risultato è alto, ma richiede un canale con SNR adeguato: le costellazioni dense sono più sensibili al rumore e agli errori di fase.
9. Relazione tra SNR ed E_b/N_0
Esercizio. Un sistema ha efficienza spettrale \eta=4\ \text{bit/s/Hz} e richiede E_b/N_0=8\ \text{dB}. Calcolare l’SNR equivalente in dB.
La relazione è:
Poiché:
si ha:
In dB:
Con \eta=4:
Quindi:
E_b/N_0 misura l’energia per bit; l’SNR dipende anche da quanti bit al secondo si comprimono in ogni hertz.
10. Gray coding in QPSK
Esercizio. Perché in QPSK si usa spesso una codifica Gray della costellazione?
Una possibile mappa Gray è:
Punti adiacenti differiscono per un solo bit. Per esempio:
differisce nel secondo bit, mentre:
differisce nel primo bit.
Nel rumore, l’errore più probabile è confondere un simbolo con un vicino. Con Gray coding, un errore di simbolo vicino produce di solito un solo errore di bit, riducendo il bit error rate rispetto a una mappatura arbitraria.
11. Capacità di Shannon come limite
Esercizio. Un canale ha banda B=1\ \text{MHz} e SNR lineare pari a 15. Calcolare la capacità di Shannon.
La capacità teorica è:
Sostituendo:
Poiché \log_2 16=4:
Questo non dice quale modulazione usare, ma fissa un limite: nessun sistema affidabile può superare indefinitamente la capacità del canale con quella banda e quel rumore.
12. Scelta adattiva della modulazione
Esercizio. Un canale supporta bene QPSK a basso SNR e 16-QAM solo quando l’SNR è alto. Perché un sistema adattivo cambia modulazione nel tempo?
QPSK porta:
mentre 16-QAM porta:
La 16-QAM raddoppia il bit-rate a parità di symbol-rate, ma i punti della costellazione sono più vicini. Se il rumore cresce, aumenta la probabilità che il ricevitore scelga il simbolo sbagliato.
Un sistema adattivo usa quindi:
- modulazioni robuste, come BPSK o QPSK, quando il canale è degradato;
- modulazioni dense, come 16-QAM o 64-QAM, quando l’SNR è elevato.
Il criterio operativo è mantenere la probabilità d’errore sotto una soglia, massimizzando il bit-rate quando il canale lo consente.
Errori comuni
- Confondere bit-rate e symbol-rate. R_b=R_s\log_2 M: con M>2 il bit-rate supera il symbol-rate.
- Dimenticare il roll-off nella banda. La banda di Nyquist R_s/2 è il minimo ideale; il filtro reale aggiunge il fattore (1+\alpha).
- Pensare “più stati = sempre meglio”. Più stati danno più efficienza spettrale ma richiedono più SNR: oltre un certo punto il canale non li sostiene.
- Usare SNR al posto di E_b/N_0. Per confrontare modulazioni a bit-rate diversi serve E_b/N_0, non l’SNR grezzo.
- Ignorare la mappatura dei bit. La codifica Gray non cambia la costellazione, ma riduce gli errori di bit quando avvengono errori verso simboli vicini.