La modulazione trasferisce un segnale di banda base su una portante ad alta frequenza, adatta alla trasmissione. Le modulazioni analogiche classiche sono AM (ampiezza) e FM (frequenza). Questa scheda allena indice di modulazione, banda occupata ed efficienza energetica.
1. Indice di modulazione AM
Esercizio. Una portante AM ha ampiezza A_c=10\ \text{V}; il modulante produce variazioni di ampiezza \pm4\ \text{V}. Calcolare l’indice di modulazione.
m=\dfrac{A_m}{A_c}=\dfrac{4}{10}=0{,}4\ (40\%).
L’indice m deve restare \le1: oltre (m>1) si ha sovramodulazione, con distorsione irrecuperabile all’inviluppo. Qui m=0{,}4 è sicuro.
2. Banda di un segnale AM
Esercizio. Il modulante AM ha banda B_m=5\ \text{kHz}. Qual è la banda del segnale AM trasmesso?
L’AM genera due bande laterali simmetriche attorno alla portante:
B_{AM}=2B_m=2\times5=10\ \text{kHz}.
L’AM occupa il doppio della banda del modulante. Le due bande laterali portano informazione ridondante (da cui le tecniche SSB che ne trasmettono una sola).
3. Potenza nelle bande laterali
Esercizio. Per un’AM con m=0{,}5 e potenza di portante P_c=100\ \text{W}, calcolare la potenza totale trasmessa.
La potenza totale dell’AM:
P_{tot}=P_c\left(1+\dfrac{m^2}{2}\right)=100\left(1+\dfrac{0{,}25}{2}\right)=100\times1{,}125=112{,}5\ \text{W}.
La portante (100\,W) non porta informazione; solo le bande laterali (12{,}5\,W) sì. Gran parte della potenza è “sprecata” nella portante.
4. Efficienza dell’AM
Esercizio. Calcolare l’efficienza (frazione di potenza utile) dell’AM del punto 3.
L’efficienza è la potenza nelle bande laterali sul totale:
\eta=\dfrac{m^2/2}{1+m^2/2}=\dfrac{0{,}125}{1{,}125}=0{,}111=11{,}1\%.
Anche al massimo (m=1) l’efficienza AM è solo 33\%: i due terzi della potenza restano nella portante. È il limite energetico che spinge verso FM e modulazioni digitali.
5. Deviazione e indice FM
Esercizio. Una FM ha deviazione di frequenza \Delta f=75\ \text{kHz} e modulante a f_m=15\ \text{kHz} (radio FM commerciale). Calcolare l’indice di modulazione.
L’indice FM è il rapporto deviazione/frequenza modulante:
\beta=\dfrac{\Delta f}{f_m}=\dfrac{75}{15}=5.
A differenza dell’AM, in FM l’indice può superare 1. \beta=5 è una FM a banda larga (alta fedeltà, robusta al rumore).
6. Banda FM con la regola di Carson
Esercizio. Per la FM del punto 5 (\Delta f=75\ \text{kHz}, f_m=15\ \text{kHz}), stimare la banda con la regola di Carson.
La regola di Carson approssima la banda FM:
B_{FM}=2(\Delta f+f_m)=2(75+15)=2\times90=180\ \text{kHz}.
La banda FM è molto più larga dell’AM: è il prezzo della maggiore immunità al rumore. I canali FM commerciali sono infatti spaziati di 200\ \text{kHz}, coerente con la stima.
7. Indice AM dall’inviluppo misurato
Esercizio. Su un oscilloscopio si misura un inviluppo AM con ampiezza massima V_{\max}=12\ \text{V} e ampiezza minima V_{\min}=4\ \text{V}. Calcolare l’indice di modulazione.
Per un’AM sinusoidale:
Sostituendo:
Risultato:
Questo metodo è pratico perché non richiede di conoscere separatamente ampiezza della portante e ampiezza del modulante: basta leggere l’inviluppo.
8. Potenza di ciascuna banda laterale
Esercizio. Per un segnale AM con P_c=100\ \text{W} e m=0{,}5, calcolare la potenza in ciascuna banda laterale.
Nell’AM convenzionale a singolo tono, la potenza totale nelle due bande laterali è:
Con i dati:
Le due bande laterali sono simmetriche e hanno uguale potenza:
Quindi:
La portante vale 100\ \text{W} e non porta informazione; le due bande laterali insieme portano solo 12{,}5\ \text{W} di potenza utile.
9. Confronto AM, DSB-SC e SSB
Esercizio. Un segnale modulante ha banda B_m=4\ \text{kHz}. Confrontare la banda occupata da AM convenzionale, DSB-SC e SSB.
Nell’AM convenzionale si trasmettono portante e due bande laterali:
Nella DSB-SC, cioè double sideband suppressed carrier, la portante è soppressa ma restano entrambe le bande laterali:
Nella SSB, cioè single sideband, si trasmette una sola banda laterale:
Risultato:
La DSB-SC migliora l’efficienza di potenza eliminando la portante; la SSB migliora anche l’efficienza spettrale eliminando una banda laterale ridondante.
10. Frequenza istantanea in FM
Esercizio. Una modulazione FM ha sensibilità k_f=5\ \text{kHz/V} e modulante sinusoidale di ampiezza A_m=3\ \text{V}. Calcolare la deviazione massima di frequenza.
La deviazione massima è:
Sostituendo:
Se la portante è f_c=100\ \text{MHz}, la frequenza istantanea oscilla tra:
In FM l’informazione non è nell’ampiezza della portante, ma nello scostamento istantaneo della frequenza rispetto a f_c.
11. FM stretta e larga
Esercizio. Una FM ha \Delta f=3\ \text{kHz} e f_m=10\ \text{kHz}. Stabilire se è a banda stretta o larga e stimare la banda con Carson.
L’indice FM è:
Poiché \beta<1, la modulazione è FM a banda stretta.
Con Carson:
Risultato:
Per \beta\ll1 lo spettro si concentra in portante e prime bande laterali; per \beta grande compaiono molte bande laterali significative.
Errori comuni
- Superare m=1 in AM. La sovramodulazione distorce l’inviluppo in modo irrecuperabile con un demodulatore semplice.
- Dimenticare il fattore 2 nella banda. Sia AM (2B_m) sia Carson FM (2(\Delta f+f_m)) raddoppiano: ci sono due bande laterali.
- Confondere \Delta f e f_m nell’indice FM. \beta=\Delta f/f_m; invertirli sbaglia indice e banda.
- Considerare la portante AM “utile”. La portante non porta informazione: solo le bande laterali, da cui la bassa efficienza AM.
- Confondere soppressione di portante e soppressione di banda laterale. DSB-SC elimina la portante; SSB elimina anche una banda laterale.